Düzlemsel grafiklerin hangi özellikleri daha yüksek boyuta / hipergraflara genellenir?

Bir düzlemsel grafik geçen kenarlara sahip olmadan düzlemde gömülebilir bir grafiktir.

Let bir olmak k yani, bir hypergraph gibi tüm hyperedges olduğu boyutu K -uniform-hypergraph.$G=(X,E)$$k$

Hipergrafları düzleme (kümeleme veya başka bir uygulama bağlamında) gömmek için bazı çalışmalar yapılmıştır , ancak çoğu zaman veriler düzleme gömülemez. Çözüm, onu biraz kayıpla zorlamak veya burada önerdiğim gibi daha yüksek bir boyuta yerleştirmek olabilir:

Düzlemsellik (IMO, en az) ihtiva eden bir doğal uzantısı olan " -Basit gömme" (bunun için bilinen bir başka isim var mı?) Arasında G : Bir gömme E : X → R k , bağlantı yüzeyleri vardır ana kadar bu şekilde her hiperge'nin tüm köşeleri ve bunlar uç noktalar hariç kesişmez.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Her yüzeyin istediğiniz gibi çizebileceğiniz bir kenar olduğu 2D'yi analogu düşünün).

Burada, 3 üniform hipergrafinin geçerli 3 basit gömülmesine bir örnek verilmiştir. (Her köşe, içerdiği hiper kenarlarla renklendirilir ve her yüz bir hiper kenarlığı temsil eder).

3-basit grafiğin bir başka örneği, köşelerinde tam 3-üniform-hipergrafidir . Bu basitçe 4 puan almak görmek için R 3 diğer köşe bağlayarak, piramidin merkezinde beşinci noktayı, bir 2D düzlemde yalan söylemez üçgen piramit (kendi dışbükey) oluşturun ve yerleştirin.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Benzer şekilde, 6 köşede tam 3-üniform-hipergrafın 3-basit bir gömme olmadığı görülüyor.

Düzlemsel grafiklerin, grafik düzlemsel olduğunda zor problemler için geliştirilmiş algoritmalara izin veren bazı çok yararlı özellikleri vardır. Ne yazık ki, veriler genellikle düzlemsel değildir, ancak bazen düşük boyutsallığa sahiptir. Düzlemsel grafiklerin hangi özelliklerinin genelleştirildiğini anlamanın, aynı araçla hangi algoritmaların daha yüksek boyut için uyarlanabileceğini anlamamıza yardımcı olacağını düşünüyorum.

Yararlı olabilecek bir özellik örneği, her düzlemsel grafiğin tüm kenarlarının düz çizgi parçaları olacağı şekilde gömülebileceğini öneren Fáry Teoreminden gelir .

$k$

Genelleştirilebilecek başka özellikler var mı? örneğin, düzlemsel grafikler için Euler Formülü bir şekilde daha yüksek boyuta genelleştirilebilir mi? (şu anda bunun ne anlama geleceğinden emin değilim).

İlk bir açıklama olarak, odak noktanız hipergraflar üzerinde görünüyor, ancak bence hipergraf yerleştirme hakkındaki literatürün çoğu basit komplekslerle çalışmayı tercih ediyor. Bu sorulara iyi bir referans Matousek, Tancer ve Wagner'in bu makalesidir .

Fáry Teoremi daha yüksek boyutta mı?

Cevap hayır.

Aslında 3 farklı gömülebilirlik kavramı vardır: düz, parçalı-doğrusal ve sürekli (hiper) kenarlar. Düzlemde, hepsi çakışır, ancak genel olarak değildir. Düz hatlı düğünlerle ilgili olarak, ilk karşı örnek Brehm'dan kaynaklanmaktadır

Brehm, U. (1983). Çok katlı olmayan bir üçgenleme Möbius şeridi. Proc. Amer. Matematik. Soc., 89 (3), 519-522. DOI: 10,2307 / 2045508

ve birkaç örnek matroid teorisinden elde edilen sonuçları kullanarak izledi.

PL ve topolojik düğünler arasındaki fark hakkında, bu Hauptvermutung'dan kaynaklanan genel karşı örneklerden kaynaklanmaktadır : 5 ve daha fazla boyutta, parçalı doğrusal bir yapı kabul etmeyen topolojik küreler vardır.

Genelleştirilebilecek başka özellikler var mı? örneğin, düzlemsel grafikler için Euler Formülü bir şekilde daha yüksek boyuta genelleştirilebilir mi?

$k$

Benzer şekilde, 6 köşede tam 3-hipergrafın 3-basit gömme olmadığı görülüyor.

Gerçekten, bu van Kampen-Flores tıkanıklığından kaynaklanmaktadır. Bu, Matousek'in Borsuk Ulam Teoremini Kullanma kitabında dikkat çekici ayrıntı ve netlikte açıklanmaktadır.

Oh oh Çok çok dikkatli olmak istiyorsun. Konveks politopların 3d olarak temas grafikleri herhangi bir grafiği gerçekleştirebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, klik, aynı politopun n döndürülmüş ve çevrilmiş kopyaları olan n politoplar tarafından gerçekleştirilebilir (zihin boggles). Bu makaleye bakın:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Bu zaten çok kötü grafikleri 3B üçgenlerin kesişim grafikleri olarak kodlayabileceğiniz anlamına geliyor. Bu makalenin 4. bölümüne bakın:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, geometrik kesişim grafiğinin nasıl davrandığını anlamaya çalışarak sorununuzun benzer bir versiyonuyla ilgileniyorum ...

Schnyder Teoremi, bir grafiğin insidans pozisyonu en fazla 3 olduğunda düzlemsel olduğunu belirtir. Bu, Mendez tarafından keyfi basit komplekslere kadar genişletilmiştir (bkz. "Simplicial Komplekslerin Geometrik Gerçekleşmesi", Grafik Çizimi 1999: 323-332). Garip bir şekilde, çok benzer bir başlığa sahip çok daha eski bir kağıt var.

Çok önemli özellik: ağaç genişliği dualitesi.

Örn. şuna bakın: Frederic Mazoit'in hiper-grafiklerin ve yüzey dualitesinin ağaç genişliği,

Özet şu şekildedir:

Küçük Grafik III'te Robertson ve Seymour şöyle yazıyor: "Görünüşe göre düzlemsel bir grafiğin ağaç genişliği ve geometrik ikilisinin ağaç genişliği yaklaşık olarak eşit, aslında kendimizi en fazla bir farklılık gösterdiklerine ikna ettik." Bunun bir kanıtı hiç vermediler. Bu yazıda, bu ifadenin hipergrafların genel yüzeylere gömülmesine genel bir kanıt olduğunu ve sınırımızın sıkı olduğunu kanıtlıyoruz.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf