Verimli bir şekilde N bitleri almak! ?

ve verildiğinde, 'bitini (veya herhangi bir küçük tabanın rakamını) elde etmek mümkün müzaman / uzay O (s (ln (K), In (M))) , p (x, y), bazı polinom fonksiyonu x ve y ?M M N ! O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) p ( x , y ) x $N$$M$$M$$N!$$O( p( ln(N), ln(M) ) )$$p(x, y)$$x$$y$

Verilen yani $N = 2^\eta$ , $M = 2^\mu$ ile ( $N$ , $M \in \mathbb{Z}$ , bulmak bit) $2^\mu$ arasında $(2^\eta)!$içerisinde $O( p(\eta, \mu) )$ .

Not: Burada mathoverflow.net'te bunu sordum ve herhangi bir cevap almadım, bu yüzden çapraz gönderi yaptım.

Gönderen comment başka bir sitede Gene Kopp bu soru gerçekten böylece bir verimli, Stirling'in yaklaşımı kullanılarak modüler aritmetik ve yüksek mertebeden bit yaparak alt bitlerini hesaplayabilir işaret 'tek orta bitlerini hesaplayabilir ne kadar etkin?' .

Dick Lipton'un 2009'dan itibaren faktöriyel fonksiyon ve faktoring arasındaki ilişki üzerine güzel bir yazısı var . Orada bu soru ile ilgisi olmayan çok şey var, ama göze çarpan bir nokta bu teorem:

Eğer adımlarında düz çizgi aritmetik hesaplaması ile hesaplanabilir , ardından faktoring polinom boyut devrelerine sahiptir.O ( log c n $n!$$O(\log^{c} n)$

Bunun, özellikle de bahsettiğiniz süre içinde, sorunuzun cevaplanması zor olduğuna dair kanıt olduğuna inanıyorum.

Suresh'in cevabı muhtemelen sizin için soruyu cevaplıyor, ancak özel bir vakayı işaret edeceğimi düşündüm. Herhangi bir baz için daha az önemli basamaklar için sonucu her zaman çalışabilirsiniz. Bizim üssü olarak al .$p$

Açıktır ki, her p ^inci faktöriyel terimi bir katıdır . Her ^inci dönem bir katıdır , vb Böylece en yüksek güç bir faktördürolan . Stirlings yaklaşımıyla yaklaşık olarak hesaplanabilir: . Ayrıca,, böylece toplam her zaman yerine toplanarak verimli bir şekilde hesaplanabilir (çünkü( p 2 ) p 2 p N ! X p = ∑ $p$$(p^2)$$p^2$$p$$N!$günlükp(N!)lnN! ≈$X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$$\log_p(N!)$p N ⌈ günlük p ( N ) ⌉ > N ! $\ln N! \approx N \ln N - N$$p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$ ⌊ $1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$ı > ⌊ günlük s ( K ! ) $\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$için ).$i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

Böylece son basamakları bazında sıfırdır . N ! $X_p$$N!$$p$