Homotopi tip teorisi ve Gödel'in eksiklik teoremleri

Kurt Gödel 'in tamamlanamazlık teoremleri 'aritmetik yapabilen tüm doğal sınırlamaları ama en önemsiz aksiyomatik sistemler' kurmak.

Homotopy Type Theory matematik için alternatif bir temel , daha yüksek endüktif tiplere dayanan tek değerlikli bir temel ve tek değerlikli aksiyom sağlar . HoTT kitabı , tiplerin daha yüksek grupoidler, fonksiyonların functor, tip familyalar ﬁ braketler vb . Olduğunu açıklar.

Jeremy Avigad ve John Harrison'un CACM'deki son "Resmi Olarak Doğrulanmış Matematik" makalesi , HoTT'yi resmi olarak doğrulanmış matematik ve otomatik teorem kanıtlama açısından tartışıyor.

Gödel'in eksiklik teoremleri HoTT için geçerli midir?

Ve eğer yaparlarsa,

Homotopi tip teorisi Gödel'in eksiklik teoremi (resmi olarak doğrulanmış matematik bağlamında) tarafından bozuldu mu?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— Şahin göz
kaynak

İlginç soru. HTT'nin Godel Eksikliği'nden muzdarip olmadığını size öneren bir şey var mıydı ? (Vakıflara yönelik set teorisi gibi önceki girişimlerin de Godel Eksikliği'nden muzdarip olduğunu unutmayın ...)

— Joshua Grochow

HoTT, elbette, tamamen sayılabilir bir dile ve çıkarım kurallarına sahip olduğu için Gödel eksikliğinden "acı çekiyor" ve aritmetiği resmileştirebiliriz. HoTT kitabının yazarları eksikliğinin tamamen farkındaydı. (Aslında, özellikle yazarların yarısı bir çeşit mantıkçı olduğunda oldukça açıktır).

Ancak eksiklik HoTT'yi "bozuyor" mu? Diğer herhangi bir resmi sistemden daha fazlası değil ve bence tüm mesele biraz yanlış yönlendirilmiş. Bir benzetme deneyeyim. Sizi gezegenin her yerine götüremeyen bir arabanız olduğunu varsayalım. Örneğin, bir duvara dikey olarak tırmanamaz. Araba "bozulmuş" mu? Tabii ki, sizi Empire State binasının tepesine çıkaramaz. Araba işe yaramaz mı? Bundan çok, sizi çok fazla ilginç yerlere götürebilir. Empire State binasının asansörleri olduğunu belirtmiyoruz.

— Andrej Bauer
kaynak

Bence araba benzetmesi oldukça işe yarıyor çünkü soru çok fazla değil "Araba işe yaramaz mı?" ancak "Araba temel taşımacılığı olarak kullanılabilir mi?" Ancak, her durumda, temel nokta, matematiğin temeli olacak herhangi bir sistemin mutlaka eksik olduğu anlamına gelir.

— David Richerby

Demek istediğim, insanlar mükemmel bir ulaşım makinesinin var olmasını beklemiyorlardı ve hiçbiri olmadığından endişe etmiyorlar, ancak bir şekilde matematiğin (makul) temelinin tamamlanmadığı konusunda endişe ediyorlar.

— Andrej Bauer