“Küçük” Turing makineleri / NFA'ların varlığına ilişkin yapıcı olmayan kanıtlar var mı?

İlgili bir soruyu , algoritmaların yapıcı olmayan varoluş kanıtları hakkında okuduktan sonra , "küçük" (örneğin, devlet-bilge) hesaplama makinelerinin varlığını gerçekten inşa etmeden göstermenin yöntemleri olup olmadığını merak ediyordum.

resmen:

varsayalım ki bazı dil ve bazı hesaplama modelini düzeltin (NFA'lar / Turing makinesi vb.). $L\subseteq \Sigma^*$

için durumlu bir makinenin var olduğunu gösteren (ancak zamanında) yeteneği bulunmayan yapıcı olmayan bir varlık sonucu var mı? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

Örneğin, gösterebileceğimiz normal bir dili var mı, ancak -state otomatının nasıl oluşturulacağını bilmiyoruz ? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( arasında belirli olmayan bir durum karmaşıklığı yani kabul az NFA durum sayısı, ). $nsc(L)$ $L$ $L$

EDIT: Marzio ile bazı tartışmalardan sonra (teşekkürler!) Bence soruyu aşağıdaki gibi daha iyi formüle edebilirim:

dili ve aşağıdakilerin sahip olduğu bir hesaplama modeli var mı : $L$

Biz bir makine; işlem nasıl oluşturulacağını bilmek sahiptir durumlarını. $L$ $m$

için -states makinesinin var olduğuna dair bir kanıtımız var (burada ), ya ya hiç bulamıyoruz ya da hesaplamak için üstel zaman geçmesi gerekiyor. $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— RB
kaynak

nsc (L) nedir? soru, dizeleri temsil etmek için küçük (est) makineler bulmayı isteyen sıkıştırma / Kolmogorov karmaşıklığıyla ilgili görünüyor ...

— vzn

nsc (L), L'nin deterministik olmayan durum karmaşıklığıdır (L'yi kabul eden en küçük NFA'daki durum sayısı).

— RB

başka bir fikir / açı, belki de bazı işlevleri hesaplayabilecekleri kanıtlanmış bazı "küçük" devre sınıfları (başka bir hesaplama modeli) vardır ama gerçek yapı zor? SJ yakın zamanda Barrington thm genişlik 5 dallanma programları çoğunluğu hesaplayabilirsiniz bahsetti ...?

— vzn

@vzn Barrington'un teoreminin kanıtı, formülleri dallanma programlarına dönüştürmek için kolay bir prosedür sağlar.

— Sasho Nikolov

@RB: tamam, kaynak sınırlı Kolmogorov karmaşıklığından (özellikle zaman sınırlı karmaşıklık) daha ilginç örnekler bulabilirsiniz. Örneğin, dizesi verildiğinde , saatinde basan en küçük makine nedir? Bu durumda kolayca baskılar bir TM inşa edebilirsiniz , ancak en küçük bir bulgu tüm ÇB'ler tarama gerektirir(bağlı zaman hesaplanabilir yapar). Daha fazla zamanım olduğunda cevabımı genişleteceğim.

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi

Yanıtlar:

Sadece önemsiz bir örnekle genişletilmiş bir yorum; tek elemanlı dili seçebilirsiniz:

L_{k} = {M ∣ σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

yani ilk (sözlük sırasına göre) meşgul kunduzu içerir boyutunda Turing makinesi ( durduktan sonra bantta en fazla 1s sayısına ulaşan boyutunda Turing makinesi ). $L_k$ $k$ $k$

Her için dili ... ancak onu tanıyan küçük DFA'nın nasıl oluşturulacağı hakkında hiçbir fikrimiz yoktur (sadece durumları olmasına rağmen ) :-) $k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Marzio De Biasi
kaynak

— RB

"Açıkça verilen dil" nedir?

— Jeffε

Dil (bazı asal sayı için bir tarafından kabul edilebilir) -durum sınırlı yanılma miktar sonlu otomata ( QFA'lar), ancak kanıt yapıcı değildir. $\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

Yapısal olarak en iyi bilinen durum sayısı ı tanıyan sınırlı hata QFA'ları için . $O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: Bölüm 4.2 (Ambainis ve Yakaryilmaz, 2015) .

— Abuzer Yakaryilmaz
kaynak

Başka bir çözüm Higman'ın lemmasını kullanmaktır :

Alt anahtar kelimelerle kapatılan bir dil normaldir.

İle bir alt-kelime biz alamazlarsa bazı mektup çıkartarak . $u$ $v$ $u$ $v$

Öyleyse herhangi bir dil L'yi al, alt kelimesinin kapanması normaldir, ancak L keyfi olduğundan yapılandırılabilir değildir.

— CP
kaynak