Benzersizlik / farklılık için Ω (n lg n) en kötü durumun basit kanıtı mı?

Öğenin benzersizliği / farklılığı sorunu için (cebirsel hesaplama ağaçlarına veya çekişmeli argümanlara dayanarak) mantıksal alt sınır için birkaç kanıt vardır, ancak algoritma analizi ve tasarımında ilk derste kullanılacak kadar basit olanı arıyorum. Sıralama için alt sınır ile aynı “zorluk seviyesi” iyi olacaktır. Ayrıca, herhangi bir yaklaşım (örneğin, birleştirici veya bilgi teorisine dayalı) iyi olacaktır. Herhangi bir öneri?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
kaynak

Aklınızda hangi hesaplama modeli var? Öğeler küçük tamsayılarsa , sıralayarak . Maddeler sadece eşitsizlik için karşılaştırılabilirse, bir alt sınırı var gibi görünüyor . Aradığınız cevabın öğelerin doğrusal olarak sıralandığını ve <, =,> için karşılaştırılabileceğini ancak başka bir işlem yapılamayacağını doğrulamak doğru mu?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

Warren'ın yorumundaki sorusu iyi bir çağrı. Bununla ilgili olarak, David Eppstein'ın başka bir soruya yaptığı yorum kavrayıcıdır, burada bu tür alt sınırlardan bahsederken hesaplama modelini belirtmenin önemini vurgulamaktadır. Bu arada, “cebirsel hesaplama ağaçları” (bir hesaplama modeli) ve “karşıt argümanlar” ı (kanıt yöntemi) yan yana listelemenin anlamlı olup olmadığından emin değilim.

— Tsuyoshi Ito

Çok iyi noktalar. Buradaki uygulamam sertlik kanıtlarını azaltarak açıklıyor - örneğin, teklikten sıralamaya (ve diğer bazı sorunlara) kadar azaltarak. Bu nedenle, karşılaştırma sıralama ile çalışırken aynı temel işlemleri varsayıyorum (böylece azalma işe yarayacak). (Ya da sanırım gerçek sayılara sahip RAM'e eşdeğer bir şey.)

— Magnus Lie Hetland

Yanıtlar:

Yalnızca <, = ve> kullanan herhangi bir belirsizlik sertifikası (kanıtı), sıralı sıradaki her bir bitişik öğe çifti arasındaki karşılaştırmaları içermelidir. Bu nedenle, herhangi bir farklılık sertifikası, sınıflandırmak için yeterli bilgi verir ve dolayısıyla sıralama için standart bilgi-teorik alt sınırı, herhangi bir deterministik farklılık algoritması için de geçerlidir.

— Warren Schudy
kaynak

Bu argüman karşılaştırma ağaçları için geçerlidir, ancak (genel olarak) daha genel karar ağacı modelleri için geçerli değildir.

— Jeffε

JeffE: Katılıyorum. Magnus'un amaçları için daha genel bir modelde çalışan basit bir kanıt olduğundan şüpheliyim.

— Warren Schudy

Sağ. Karşılaştırma ağaçları benim uygulama için iyi - bu yüzden bu aradığım şey oldukça yakın sanırım. Uygulamam, sertleştirme kanıtı fikrini, tasnife indirgeme de dahil olmak üzere açıklıyordu, bu yüzden tasnif kanıtı burada kullanılan her şey kısa devreler gibi. Sanırım bunu açıkça belirtmeliydim :-)

— Magnus Lie Hetland

Soruyu doğru anladığımdan emin değilim, ancak Dobkin ve Lipton'un [DL79] n sayılarındaki teklik sorununun doğrusal karar ağacı modelinde Ω ( n log n ) karşılaştırmaları gerektirdiğinin kanıtı , daha güçlü sonuçtan çok daha kolay Ben-Or [Ben83] tarafından cebirsel hesaplama ağacı modeli (şaşırtıcı değil).

Referanslar

[Ben83] Michael Ben-Or. Cebirsel hesaplama ağaçları için alt sınırlar. In Computing (STOC 1983) Teorisi üzerine XV Yıllık ACM Sempozyumu , s. 80-86, Nisan 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

David P. Dobkin ve Richard J. Lipton. Değişen ilkel kümeler altındaki hesaplamaların karmaşıklığı hakkında. Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi , 18 (1): 86–91, Şubat 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Kısaca: Tüm olası girişlerin R ^ n boşluğunu düşünün. Pozitif girişler setinde n! bağlı bileşenler, her permütasyon için bir tane. Öte yandan, doğrusal bir karar ağacındaki herhangi bir yaprağa erişebilen alt küme girişleri dışbükeydir ve bu nedenle bağlanır. Böylece, tekliği belirleyen herhangi bir doğrusal karar ağacı en azından n! yapraklar.

— Jeffε

Özel tamsayı girdileri için daha ince bir argüman gerekir. Bkz. Lubiw ve Rács, "Tamsayı eleman ayırt etme problemi için bir alt sınır", Bilgi ve Hesaplama 1991; veya Yao, "Tamsayı girdisi olan cebirsel hesaplama ağaçları için alt sınırlar", FOCS 1989.

— Jeffε

@JeffE: Kısa açıklamanız harika. Ayrıca ilginç sonuçlara işaret ettiğiniz için teşekkür ederiz. Ben-Or'un alt sınırının, girdinin tamsayılarla sınırlı olduğu durum için hemen geçerli olmadığı aklıma gelmedi!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: Bunlar bir cevapta olmalı!

— Suresh Venkat

Tsuyoshi Ito ve JeffE'ye teşekkürler. Daha önce R ^ n alan kanıtı gördüm (çekişmeli argümanlar kullanan bir ortamda). İlk okuduğumda hedef kitlem için biraz fazla karmaşık olduğunu düşündüm, ama sanırım belki de değil. Teşekkürler. (Tam sayı davasıyla ilgili makaleyi de gördüm - Sanırım dersimde buna girmeyeceğim… :)

— Magnus Lie Hetland