PARTITION'ın bir başka çeşidi

Belirli bir zamanlama sorununa aşağıdaki bölüm sorunu bir azalma var:

Girdi: Bir liste $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$ olmayan azalan sırayla pozitif tamsayılar.

Soru: bir vektör $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ var mı?

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

İkinci koşul olmadan bu sadece BÖLÜM, dolayısıyla NP-zor. Ancak ikinci koşul çok fazla ek bilgi sağlıyor gibi görünüyor. Bu değişkene karar vermenin etkili bir yolu olup olmadığını merak ediyorum. Yoksa hala zor mu?

— Thomas Kalinowski
kaynak

İşte PARTITION'dan bu soruna bir azalma. Let BÖLÜNME bir örneği olabilir. olduğunu varsayın . $(a_1,\dots, a_n)$ $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

Let “çok sayıda”, örneğin, olduğu . Örneğin göz önünde . $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

PARTITION için çözümü varsa, o zaman sorunumuza bir çözümdür. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
bir çözüm (PARTITION örneğini olarak düşürdük), . Böylece Yani, PARTITION için bir çözümdür. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
kaynak

Teşekkürler Yury. Uygulamamda giriş listesinin azaltılmadan sıralanması ve azaltmanızdaki giriş olmaması önemlidir . Sipariş gereksinimini daha açık hale getirmek için soruyu değiştireceğim.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@thomas: Bunu fark etmedim. Şimdi çözümümü güncelledim.

— Yury