Kolmogorov'un P'nin devre karmaşıklığı hakkındaki varsayımına karşı / karşı görüşler

(Doğrulanmamış) tarihsel hesaba göre, Kolmogorov içindeki her dilin doğrusal devre karmaşıklığına sahip olduğunu düşündü . ( Kolmogorov'un doğrusal boyutlu devreleri olduğu yönündeki önceki sorusuna bakın .) anlamına geldiğine dikkat edin . $\mathsf{P}$ $P$ $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$

Ancak Kolmogorov'un varsayımının başarısız olacağı düşünülüyor. Örneğin, Ryan Williams yeni bir makalede şöyle yazıyor : "Tahmin, eğer doğruysa şaşırtıcı olurdu. zaman gerektiren diller için , bu tür sorunların karmaşıklığı pek olası görünmüyor sihirli bir şekilde boyutuna küçülür, çünkü her giriş uzunluğu için farklı bir devre tasarlanabilir. " $\mathsf{P}$ $n^{100^{100}}$ $O(n)$

Öte yandan, Andrey Kolmogorov (1903-1987) 20. yüzyılın önde gelen matematikçilerinden biri olarak kabul edilmektedir. Tamamen saçma bir varsayım önereceğini hayal etmek oldukça zor. Bu nedenle, daha iyi anlamak için, onun şaşırtıcı tahminini destekleyebilecek bazı argümanlar bulmaya çalıştım. İşte düşünebileceğim şeyler:

Varsayalım . Daha sonra , nin hem tekdüze hem de tekdüze olmayan modelde karmaşıklığa sahip dilini seçebiliriz . O zaman iki olasılık vardır: $\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ $L\in \mathsf{P}$ $L$

kabul eden bilinen bir açık algoritma (Turing makinesi) var . Bundan , süper doğrusal devre karmaşıklığına sahip olması gereken açık bir fonksiyon ailesi oluşturabiliriz. Bununla birlikte, bu olası görünmeyebilir, çünkü kimse 60 yıldan fazla bir süredir devreler üzerinde yoğun araştırmalarda böyle bir örnek bulamadı. $L$
için bilinen açık bir algoritma yoktur . Örneğin, varlığı Seçim Aksiyomu gibi yapıcı olmayan yollarla kanıtlanmıştır. Veya, açık algoritma mevcut olsa bile, hiç kimse onu bulamamıştır. Bununla birlikte, rolünü oynayabilecek sonsuz sayıda dil olduğu göz önüne alındığında, hepsinin bu düşmanca şekilde davranması pek olası değildir . $L$ $L$

Ancak, her iki seçeneği de olası görmezden gelirsek, geriye kalan tek olasılık böyle bir $L$ mevcut olmamasıdır. Bu , tam olarak Kolmogorov'un varsayımı olan anlamına gelir $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ .

Soru: Kolmogorov'un varsayımı / aleyhine başka bir tartışma düşünebilir misiniz?

cc.complexity-theory circuit-complexity ho.history-overview

— Andras Farago
kaynak

Merak ediyorum: Kolmogorov'un varsayımını yalanlamak için adaylarımız var mı? Elbette, süper doğrusal karmaşıklığa sahip herhangi bir problemi düşünebiliriz. Belki bazılarının doğrusal boyutlu devrelere sahip olmaması daha olasıdır?

— Bruno

yüzleşelim, kimse en ufak bir ipucuna sahip değil. (hollywood'a yeniden goldman alıntısı: "kimse bir şey bilmiyor.") (yayınlanmamış) varsayım belki de P =? NP'den bile daha uzun süre açıktır. ancak, keşfedilmeye değer kabaca bir fikir / açı: sıkıştırma teorisi ve sıkıştırılabilirlik. Bu temelde williams'ın ima ettiği şeydir ve muhtemelen birçok karmaşıklık sınıfı ayrımının merkezinde olabilir. fikir, verileri kodlamak için temel yollar / algoritmalar olması ve bazı modellerin (herhangi bir keyfi) kodlamayı kullanarak sıkıştırılması kendiliğinden daha zor olmasıdır . ancak bu alanda da çok az sonuç var gibi görünüyor.

— vzn

ve btw, Kolmogorov karmaşıklığının hesaplama karmaşıklığına birçok bağlantısı, örneğin Fortnow tarafından araştırıldı , Kolmogorov karmaşıklığıyla ilgili birçok sorunun kararlaştırılamadığı için soruların neden bu kadar zor olduğu konusunda açıklayıcı bir bağlantı olabilir ...?

— vzn

@Bruno: problemlerin iyi adaylar olacağını tahmin ediyorum, örneğin Doğrusal Programlama veya Devre Değer Sorunu. Eğer o zaman bu sorunları en azından tahmin etmek mantıklı görünüyor bunun yüzden, poli-boyut ve poli-logaritmik derinlikte bile düzgün olmayan bir çözülemeyecek şekilde sorunlar olmamalı doğrusal boyutta (ve sınırsız derinlikte) çözülebilir. Determinant başka bir makul aday olabilir. Ama bunlar sadece teklifler - Süper doğrusal devre boyutlarına sahip olduklarını düşünmek için güçlü nedenlerim yok.

P

$\mathsf{P}$

P ⊈ N C

$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— Joshua Grochow

Yanıtlar:

Alıntı yaptığım makalenin dipnotu, en azından Kolmogorov'un sezgisi olduğunu düşündüğümüz sezgisel bir "argüman" anlamına geliyor - Hilbert'in on üçüncü probleminin olumlu çözümü.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

Özellikle, Kolmogorov ve Arnold tarafından değişkenler üzerindeki herhangi bir sürekli fonksiyonun "basit" fonksiyonların bir bileşimi olarak ifade edilebileceği kanıtlanmıştır : iki değişkenin eklenmesi ve bir değişken üzerinde sürekli fonksiyonlar . Dolayısıyla, tek değişkenli sürekli fonksiyonların ve iki değişkenli eklemenin "temeli" üzerinde, değişken üzerindeki her sürekli fonksiyonun "devre karmaşıklığı" . $n$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

Kolmogorov "sürekli olarak ayrı bir analog olup inanılmaktadır görünüyor " olarak Boolean olur değişken " değişkenleri ve poli -zaman hesaplanabilir" ve yukarıda belirtilen "temel" iki değişkenli Boole fonksiyonları parçası haline gelir. $n$ $n$ $(n)$

— Ryan Williams
kaynak

Kolmogorov'un inandığı ayrık analogun gerçekten var olması çok ilginç olurdu. Muhtemelen, araştırmacılar bir kanıtına kadar ulaşabileceğinden bulmaya çalıştılar . Karşılaştıkları ana barikat neydi?

P \neq N P

$P\neq NP$

— Andras Farago

Roadblock'lar? Kimsenin yolu bulduğunu sanmıyorum :) Çoğu insan her sabit için boyutunda devrelere sahip olmadığına inandığından , muhtemelen birkaç kişi yolu bile aramıştır.

P

$P$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

— Ryan Williams

Stasys'in önceki soruya cevabı, potansiyel olarak lehte bazı sezgi sağlar: /cstheory//a/22048/8243 . Anladığım kadarıyla burada kalmaya çalışacağım. Anahtar sezgi bir devreyi bir algoritma olarak değil , bir kümenin (kabul ettiği küme) kodlaması olarak görmektir. Biz (olduğunu, bir zaman-tercüme çalışma süresi algoritması tarafından boyutunu kodlayan üzerindeki üst sınır alabilirsiniz bir boyutu-içine TM devresinde), ancak tersi bir ilişki bulunmalıdır ne olduğu belli değil. Bir dil , bu belki de üyeliğin çok kısaca kodlanacak kadar "yerel" olduğunu gösterir. $t$ $t$ $\mathsf{P}$

Yani, üyeliği bir algoritmanın çalışma süresi ile ilgili bir ifadedir, doğrusal devreler ise (belki de) sabit uzunluktaki kelime kümelerinin boyutunu kodlama ile ilgili bir ifadedir. Her ikisi de dilin basitliğine dair ifadelerdir, ancak belki de oldukça farklı dünyalarda yaşarlar. $\mathsf{P}$

Stasys bahseder Başka sezgilerim biraz sonsuz dize olarak resmileştirmek izin dile ait "göstergesi dizesi" dan gelir ise ise lexicographic dize inci dilde dir aksi. Dil için bir (polytime) TM, dize için (hızlı) bir kehanedir --- ikili olarak verilir , bitini üretir . uzunluğu girişleri için bir (doğrusal boyutlu) devre , dizenin uzunluk öneki için (özlü) bir kehanettir . Bu varsayım, "hızlı" bir kehanete sahip olan herhangi bir sonsuz ip, "özlü" önek-kehanetleri vardır "olur. $j$ $1$ $j$ $0$ $j$ $j$ $n$ $2^n$

Yukarıdakilerin hiçbiri, ve" doğrusal "ifadesinin neden ifade için doğru ilgili parametreler olabileceğini açıklamıyor; ancak bence bir doğal sezginin - devrelerin algoritma gibi davrandığını ve daha karmaşık algoritmaların gerektirdiğini düşünüyorum benzer şekilde karmaşık devreler - yanıltıcı olabilir. $``\mathsf{P}"$

— usul
kaynak