Kelimeleri rastgele DFA'larla ayırma

DFA'lar hakkında listelenen ilginç açık sorunlardan biri DFA'lar hakkında açık sorun var mı? uzunluğundaki iki dizeyi ayırmak için gereken bir DFA boyutudur . Rastgele bir DFA'nın verilen (rasgele olmayan) dizeleri ayırma yeteneği hakkında herhangi bir sonuç olup olmadığını merak ediyorum. $n$

Açıkça yeterli sayıda duruma sahip rastgele bir DFA, yüksek olasılıkla dizeleri ayırır. Özellikle, , durumları olan rastgele bir DFA'nın, ve farklı olduğu ilk yere ulaştıktan sonra aynı duruma tekrar gelmesi ve böylece ve ayırması olası değildir . $u,v \in \Sigma^n$ $O(n)$ $u$ $v$ $u$ $v$

Daha iyisini yapabilir miyiz? İdeal olarak, en küçük nedir st o rastgele DFA ile uzunluğunun devletlerin ayırır dizeleri pozitif olasılığı (veya belki de olasılık )? Kısa bir arama, rastgele DFA'ların özellikleri üzerinde pek çok sonuç vermedi; tüm bulabildiğim http://arxiv.org/abs/1311.6830 idi . $f(n)$ $f(n)$ $n$ $\ge 1/2$

dfa random-graphs

— Geoffrey Irving
kaynak

Pozitif olasılık, sadece açık sorunun yeniden ifade edilmesi göz önüne alındığında, özellikle yararlı bir koşul değildir. Yüksek olasılık hala ilginç olabilir.

— Geoffrey Irving

"Ayırır" ne demektir? Birini kabul eder ve diğerini reddeder? Eğer öyleyse,

durumlarının yeterli olduğu açık mı?

O (n)

$O(n)$

— usul

Evet, ayırmak demek tam olarak kabul etmek demektir. Ve haklısın: en önemsiz ayrılma argümanı aslında

durumlarını gerektirir

yukarıda yazdıklarım yanlıştır), ancak daha azı yetmezse şaşırırdım.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffrey Irving

Sınırların kelimelerin ne kadar farklı olduğuna bağlı olmasını beklemez miydiniz? Tek bir harfle farklılık gösteren kelimelerin rastgele ayrımcılık yapmak daha zor olacağı anlaşılıyor, çünkü bu bir geçişte ayrımcılık yapmanız gerekiyor ve çok farklı kelimeler daha kolay olurdu. [Genelleştirmek için, en uzun ortak öneki unutabilirsiniz (bundan rastgele bir duruma ulaşırsınız); farklı harfler sizi aynı duruma veya farklı durumlara gönderir; devletler farklıysa, yeniden senkronizasyon proba bakmanız ve senkronize halde kalmanız gerekir (kelimelere tekrar bağlı olarak başlar) ...]

— a3nm

Evet, açık sorun gibi, ayrımcılık yapmak için mümkün olan en zor kelimelerle ilgileniyorum. Sadece birkaç yerde farklılık gösteren kelimeler zaten

durumlarıyla ayrılabilir , bu yüzden zor durumda olmaları olası değildir.

O (\log n)

$O(\log n)$

— Geoffrey Irving

[Düzenle: bu cevap çalışmıyor, yorumlara bakın.]

Bu sadece gayri resmi bir fikir ve yardımcı olup olmadığını bilmiyorum, ancak yorum olarak verilmesi çok uzun. Ayrıca, rastgele DFA'lara hiç aşina değilim, bu yüzden belki de olasılıklar hakkında nasıl mantık yürütmeniz gerektiğine dair yanlış bir sezgim var, ama umarım bu tamamen değersiz değildir.

Sınırlarınızın ve ne kadar farklı olduğuna bağlı olduğunu varsayacağım ; eğer bunu yapmazlarsa, en kötü durumun sadece ilk karakterleri ile farklı olan dizeler olduğu açıktır (bir konumu pozisyonunda farklı olan dizeler, bir dizi pozisyonunda farklı olan dizelerden ayrı olarak söylenme şansına sahiptir. , Söyleyebilirim ve farkı olabildiğince erken koymak size yeniden senkronize etme fırsatı verir). $u$ $v$ $X$ $Y \subset X$

Ayrıca kelimelerin ayırt edilme olasılığına, yani farklı durumlara ulaşma olasılığına da bakacağım. Sanırım rastgele DFA'larınızın son durumları nasıl tahsis ettiğine bağlı olarak kabul veya reddedilmek için adapte olmanız gerekir. Her durumun nihai olma olasılığı 1/2 ise, o zaman dizeler aynı duruma geldiğinde ayırt edilmezler ve farklı durumlara ulaştıklarında ayırt edilme olasılıkları 1/2 olur.

Şimdi kelimesini ele alacağım $w$ elde ve aşağıdaki gibidir: ise ve , aksi. Ben ve ve hakkında düşünülmesi gereken tek ilginç şey olduğunu düşünüyorum . $u$ $v$ $w_i = 1$ $u_i = v_i$ $w_i = 0$ $w$ $u$ $v$

Şimdi tanımlama, uzunluğunun önekleri okuduktan sonra aynı halde olduğu ihtimali arasında ve , ve biz değildir olasılığını. $p(i)$ $i$ $u$ $v$ $q(i) = 1 - p(i)$

Biz var zaman olduğunu . Sezgisel olarak, aşağıdaki durumlarda okuduktan sonra aynı durumdayız $p(i+1) = p(i) + q(i)/n$ $w_{i+1}$ $1$ $i+1$ harflerini okuduktan sonra aynı durumdayız ya okuduktan sonra aynı durumdayken ya da iki farklı (rastgele) durumdayken, rastgele durumlara iki geçiş yaptık ve aynı olmak. Benzer şekilde, $i$ $p(i+1) = 1/n$ olduğunu : İki rastgele durumları, içinden ait bir madde çekmektedir. $w_{i+1}$ $0$

Bundan okuduktan sonra aynı durumda olma olasılığını hesaplayabileceğini düşünüyorum ve. $u$ $v$

— a3nm
kaynak

Ne yazık ki,

tek ilginç özelliği olduğu açıktır . Bu görmenin en kolay yolu herhangi aşikar olmayan ayırt sıfırdan farklı bir olasılık trivially olmasıdır

dan

w

$w$

u

$u$

v

$v$

w

$w$

; aslında

bağımsız olarak sadece iki devlet yeterlidir. Bununla birlikte, ele alındığı gibiarxiv.org/pdf/1103.4513.pdf, kelime vardır

uzunluğunun

st bir

0^{n}

$0^n$

n

$n$

u, v

$u,v$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$ durumu DFA birbirinden ayırt edebilir. Bu,

için formüllerinizle çelişmektedir.

p (i)

$p(i)$ .

— Geoffrey Irving

Açıklığa kavuşturmak için, DFA geçişleri dize dizininin rastgele bir işlevi olsaydı formülleriniz doğru olurdu; endeksten bağımsız oldukları için olasılıklar oldukça karmaşık bir şekilde ilişkilidir.

— Geoffrey Irving

Korkarım karşı örneğini alamadım. Bir yoktur

prba ayırt, iki devlet ile,

> 0

$>0$

0^{n}

$0^n$ ve

, OK'yi ; ve belki de

uzunluğunda

durumlarıyla ayrı olarak söylenemeyen kelimeler vardır . Ancak,

tek önemli şey olduğu iddiamla veya

için formüllerimle nasıl çelişiyor?

w \neq 0^{n}

$w \neq 0^n$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

w

$w$

p (i)

$p(i)$ ? Korelasyonlara gelince, bahsettiğiniz türden bir yakalama olabilir, ancak neden tam olarak başarısız olduğunu anlamıyorum. Aynı durumdan iki kez geçerseniz, bir korelasyon vardır, ancak bunun ortalama olarak belirli bir yönde etkileyeceğini düşünmek için bir neden var mı?

— a3nm

Eğer

pozitif olasılık ile ayırt edilir. Bununla birlikte, yeterince büyük

ve az sayıda durum için, bazı

için

olduğunu biliyoruz.

p (n) < 1

$p(n) < 1$

u

$u$

v

$v$

n

$n$

p (n) = 1

$p(n) = 1$

u

$u$

v

$v$ . Senin formülleri ima yana ki eğer

sonra

p (i) < 1

$p(i) < 1$

, formülünüz belirli

ayırt edilmesinin imkansız olduğugerçeğini yakalamıyor.

p (i + 1) = p (i) + (1 - p (i)) / n = p (i) (1 - 1 / n) + 1 / n < 1

$p(i+1) = p(i) + (1-p(i))/n = p(i)(1-1/n)+1/n < 1$

u

$u$

v

$v$

— Geoffrey Irving

Ah ... doğru, anlıyorum. Hiçbir küçük DFA iki kelimeyi ayırt edemezse, rastgele bir DFA da bunları ayırt edemez. Aslında benim yaklaşımımda bir sorun var,

olasılığı sonunda sıfıra düşmeli, bu korelasyonlar nedeniyle, öyle görünüyor. Yanlış cevap verdiğim için üzgünüm.

q (i)

$q(i)$

— a3nm