Grafik endomorfizmlerini saymanın karmaşıklığı

Bir homomorfizmi bir grafikten bir grafik bir eşleme den için , öyle ki, eğer ve komşu olan daha sonra ve içinde bitişiktir . Bir Endomorfizma bir grafik bir homomorfizma kendisine; bunun sabit nokta içermeyen bir varsa öyle ki bu ve önemsiz olmayan bu kimlik değilse.$G = (V, E)$$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$$x$$y$$E$$f(x)$$f(y)$$E'$$G$$G$$x$$f(x) = x$

Kısa bir süre önce , poset (ve grafik) otomorfizmleri ile ilgili bir soru sordum . Otomorfizmlerin sayılması (ve varlığına karar verilmesi) ile ilgili çalışmalar buldum, ancak arama, endomorfizmlerle ilgili herhangi bir sonuç bulamadım.

Bu yüzden sorum: grafiği verilen önemsiz endomorfizminin varlığına veya endomorfizma sayısını saymanın karmaşıklığı nedir ? Sabit noktadan bağımsız endomorfizmlerle aynı soru.$G$$G$

Bu cevapta verilen argümanın endomorfizmlere kadar uzandığını ve yönlendirilmiş bipartit grafiklerin veya posetlerin durumunun genel grafikler için problemden daha kolay olmadığını (genel grafikler için problem bu duruma düştüğünü) doğruladığını düşünüyorum, ancak karmaşıklığı belirlemesi kolay görünüyor. Bu başka bir grafikten bir homomorfizmasının varlığını karar olduğu bilinmektedir NP-zor (o grafik renklendirme genelleştirir olarak bu açıktır), ama bir grafikten homomorfizmalar için sınırlayan gibi görünüyor kendisi daha kolay sorunu hale getirebileceğini, bu yüzden bu sorunların karmaşıklığını belirlememe yardımcı olmaz.

için endomorfizmaların veya sabit noktadan bağımsız endomorfizmaların tamamlanmıştır : bağlı bir grafik verildiğinde , ve bir üçgenin ayrık birleşimi olan grafiğini düşünün . Sonra , bu nedenle iki endomorfizm kullanılarak hesaplanabilir sayar (ve genel bir sonuçla, sadece bir tane bile yeterlidir) ve bazı poli-zaman post-proses. Üçgen sayısının kübik (hatta matris çarpımı) süresinde sayılabileceğini unutmayın. Aynı denklem, sabit nokta serbest endomorfizmleri için de geçerlidir, çünkü 3 renk ve üçgen, nin sabit nokta serbest endomorfizmidir.$\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$$G$$G'$$G$$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$$\# 3COL$$G'$.

Eğer isterseniz bağlanacak, siz şu yapabilirsiniz. Sayma tepe renkli (renkli köşeleri grafik endomorfizmaları dikkatinizi çekeriz tek renk diğer köşe eşlenebilir ) sayma grafik Endomorfizmlerin eşdeğerdir, aşağıdaki gibi. Renkler . Her bir köşe için rengi , yeni bir ayrık eklemek tek döngü en az boyutta ( ), ve bağlantı tek bir tepe noktası için . her endomorfizması karşılık gelir$G'$$c$$c$$\{1,...,C\}$$v$$c$$C_v$$n + 2c$$n=|V(G)|$$C_v$$v$$G$$2^n$yeni grafiğin endomorfizmaları (her döngü için, onu nasıl eşleyeceğiniz konusunda iki seçeneğiniz vardır). Döngülerin çok büyük olması nedeniyle hiçbir noktasının herhangi bir köşelerine (tek bir döngü için bir döngüyü bir diğerinin içine sığdırmanız gerekir).$G$$C_v$

Şimdi, bağlı bir sürümü yapmak için , renkli bir sürümle başlıyoruz ve sonra yukarıdaki dönüşümü uyguluyoruz. ayrık bir üçgen ekleyerek önceki gibi başlayın . Şimdi her tepe noktasına bağlı yeni bir tepe noktası ekleyin . Renk kırmızı ve diğer tüm köşeler mavi.$G'$$G$$\Delta$$v_0$$G \cup \Delta$$v_0$