Gurvits'in Deolalikar'ın makalesinin tensör sıralı yorumunu açıklar

[Not: Bu sorunun hiçbir şekilde Deolalikar'ın makalesinin doğruluğuna veya yanlışlığına bağlı olmadığına inanıyorum.]

Scott Aaronson'un Shtetl Optimize adlı blogunda , Deolalikar'ın P'ye karşı NP girişimi hakkındaki tartışmada Leonid Gurvits şu yorumu yaptı :

Yaklaşımı anlamaya / yeniden biçimlendirmeye çalıştım ve işte belki de çok minimalist olan girişimim: gazetedeki ayrı olasılıksal dağılımlar tensörler veya çok özel çok hatlı polinomlar olarak görülebilir. “P = NP” varsayımları bir şekilde tensör sıralamasında bir (polinom?) Üst sınır vermektedir. Ve son olarak, bilinen olasılıklı sonuçları kullanarak, aynı rütbede eşleşmeyen (üstel?) Alt sınır elde eder. Eğer haklıysam, bu onaylama, daha önceki cebirsel-geometrik yaklaşımları zorlamak için çok zeki, iyi anlamda temel bir yoldur.

Deolalikar'ın kanıtındaki şüpheli / bilinen kusurlara rağmen, merak ediyorum:

Deolalikar'ın makalesinde tartışılan dağılımlar tensör olarak nasıl değerlendirilebilir ve sonuçlarının ifadeleri (doğruluklarına bakılmaksızın) tensör sıralamasıyla ilgili ifadelere nasıl dönüşür?

cc.complexity-theory lower-bounds tensor-rank

— Joshua Grochow
kaynak

Sadece gördüm. Neden Gurvits'e kendinize sormuyorsunuz? ...

— Ryan Williams

@Ryan: Yaptım :). Şu anda meşgul olduğunu hızlı bir şekilde yanıtladı ama sonunda buna kesinlikle ulaşacak. Bir süre oldu ve burada birisinin sözleri daha hızlı açıklayabileceğini umuyordum.

— Joshua Grochow

[Tamamen ilgisiz olduğunu düşündüğüm bir şey okuyordum ve sonra “aha anı” vardı, bu yüzden cevabın en azından bir kısmını anladım. Gurvits'in aklında olan şeyin bu olup olmadığından emin değilim, ama bu benim için anlamlı.]

N ikili değişkenlere Bir dağıtım , (n faktörü) tensör ürününün bir öğesi olarak görülebilir (aslında ilişkili projektif alan, ancak buna ). Biz her kopyasının temelini elemanlarını etiketlemek durumunda tarafından ve $x_1,...,x_n$ $\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$ $\mathbb{R}^2$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ daha sonra bu tensör ürün alanının temelini tüm n-bit dizeleri seti verir. Bu tensör ürününün katsayıları 1'e eşit olan bir elemanına sahipsek, verilen herhangi bir n-bit dizginin katsayısını, oluşan dizenin olasılığı - dolayısıyla bir olasılık dağılımı olarak yorumlayabiliriz! Şimdi, sadece olasılık dağılımlarını istediğimizden (1 olarak toplanan katsayılar), tensör ürünündeki herhangi bir vektörü bu özelliğe sahip olacak şekilde normalleştirebiliriz. Sadece normalize edilmiş tensörleri göz önünde bulundurarak, gerçekten sadece bu tensör ürününün yansıtma alanının elemanlarını düşünüyoruz.

Şimdi tensör derecesini Deolalikar'ın polilog parametrelendirilebilirlik kavramına bağlamalıyız. Göre bu sayfayı Terry Tao tarafından, polylog-parametrizability ait Deolalikar nosyonu dağılımı olması gibi görünüyor olarak "potansiyellerin içine çarpanlarına" olabilir burada pa (i), "i'nin ebeveynleri" olarak tanımlanan bir dizi polilog (n) değişkenidir ve $\mu$ $\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$ üzerinde sadece bu ana değişkenlere bağlıbir dağılımdır. Dahası, ebeveynlerin yönlendirilmiş grafiği asiklik olmalıdır. $p_i( - ; x_{pa(i)})$ $x_i$

$\mu$ $\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$ $p_i$ $p_i$ $x_i$ $(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$ $i$ $O(1)$ $(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$ $2^{n/2}$ $2^{n/2}$ $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$ $O(n)$ $O(1)$ $O(n)$ $2^n$

Hala iki konuyu formüle etmekte sorun yaşıyorum ve bunlarla ilgili daha fazla cevabı takdir ediyorum:

İkinci yazışmayı kesinleştirmek
Polilog-parametrelendirilebilir dağılıma karşılık gelen tensörün formüllerini yazmak ve rütbesinde bir üst sınır elde etmek.

— Joshua Grochow
kaynak

hiç buna geri döndün mü?

— T ....