Matris çarpımının Gerçek Bit Karmaşıklığı

Düzenli (sıra-kolon iç ürün) tekniği kullanarak matris çarpımı $O(n^{3})$ çarpmalar ve $O(n^{3})$eklemeler. Ancak eşit büyüklükteki girişlerin (her iki matrisin her girişindeki bit sayısı çarpılarak)$m$ bitleri, toplama işlemi aslında gerçekleşir $O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$ bit.

Bu yüzden, bit karmaşıklığı yoluyla ölçülürse, matris çarpımının gerçek karmaşıklığı, $O(n^{4})$.

$(1)$Bu doğru mu?

Birinin bit karmaşıklığını azaltan bir algoritma oluşturup oluşturmadığını varsayalım. $O(n^{3+\epsilon})$ toplam çarpma ve eklemeler yerine, bu toplam çarpma ve eklemelerin azaltılmasını söylemekten daha doğru bir yaklaşım olabilir. $O(n^{2+\epsilon})$ Coppersmith ve Cohn gibi araştırmacılar tarafından

$(2)$ Bu geçerli bir argüman mı?

Hayır, matris çarpımının bit karmaşıklığı $M$bit girişleri $n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$, nerede $\omega < 2.4$en iyi bilinen matris çarpım üssüdür. Çarpma ve ekleme$M$bit sayıları $M (\log M)^2$saati. İki çarpma$M$-bit sayılardan fazla olmayan bir sayı verir. $2M$bit. Ekleme$n$ Sayıları $M$ her biri bit, daha fazla olmayan bir sayı verir $M+\log n+O(1)$bit. (Bir düşünün: toplam en fazla$n 2^M$, böylece bit temsili $\log (n 2^M)+O(1)$ bit).

Hızlı tamsayı çarpma algoritmalarına referanslar bir web araması veya wikipedia ile bulunabilir.