Polinom faktörlerinin lineer faktörlere dönüştüğünü kontrol etme

İzin Vermek $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ aritmetik devre tarafından verilen bir polinom olmak $C$ büyüklüğünde $s$. verilmiş$C$ girdi olarak, indirgenemez tüm faktörleri kontrol etmek için deterministik bir algoritma var mı $f$ içinde $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$formlar nelerdir? İlgili bir notta, doğrusal bir form verilir$l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$, deterministik olarak $l$ faktörü $f$. Elbette, her iki durumda da çalışma süresinin polinom olmasını istiyoruz. Boyut olarak, toplam bit boyutunu kastediyoruz. Ayrıca, bu derecenin$f$ polinom içinde $n$.

Bildiğim kadarıyla, şu anda kontrol etmek zorunda olduğumuz en iyi algoritma $f$(bir aritmetik devre tarafından verilen) doğrusal faktörlere faktörize olabilir aslında indirgenemez tüm faktörler için kara kutu üreten Kaltofen (PDF) rastgele algoritması ile$f$ve yeterince geniş bir alanda çalışır. Aslında, genel devreler için bu polinom çarpanlarına ayırma probleminin yakın zamanda Kopparty, Saraf ve Shpilka tarafından genel devreler için blackbox-PIT problemine eşdeğer olduğu gösterilmiştir.

Bruno'nun belirttiği gibi, eğer verilen bir devrenin kontrol edilmesi ile ilgileniyorsanız, verilen bir devre $\ell$, bu belirli bir PIT sorununa indirgenir. Bunu genel olarak deterministik olarak nasıl yapacağımızı bilmiyoruz ama bu PIT'in nasıl yapılacağını bildiğimiz özel bir durum biliyorum. Bir verili olup olmadığını kontrol etmek için deterministik bir poli-zaman algoritması (PDF) vardır$\ell$ Belirli bir seyrek polinomu böler $f$.

(Bir başka önemsiz özel durum, $f$sınırlı bir üst fan derinliği üç devresi tarafından verilir. Orada,$f \bmod \ell$ aynı zamanda sınırlı bir fan derinliği üç devresidir ve deterministik polinom zamanında PIT'in nasıl yapılacağını biliyoruz.)