“Minik” Grafik İzomorfizması

Asimetrik grafiklerin izomorfizmini test etmenin karmaşıklığını düşünürken (bkz . Cstheory hakkındaki ilgili sorum ) aklımda tamamlayıcı bir soru geldi.

Bir polinom zamanımız olduğunu varsayalım . Giriş düğümü olan bir grafiği üreten Turing $M$ $1^n$ $G_{M,n}$ $n$

problemini tanımlayabiliriz : $\Pi_M$

( "Küçük" Gl): bir grafiktir Verilen , bir izomorf ? $G=(V,E)$ $G$ $G_{M,|V|}$

Diğer bir deyişle, sabit bir polinom zaman Turing makinesi tarafından üretilen aynı boyutta bir "referans" grafiği ile belirli bir grafik karşılaştırmalıdır . $M$

Turing makinaları tüm polinom defa , elimizdeki , ve birçoğu için elimizdeki . Peki tüm için doğru mu? Sorun biliniyor mu? $M$ $\Pi_M \in NP$ $\Pi_M \in P$
$M$

İlk bakışta, her çok daha kolay olması gerektiğini düşündüm , çünkü her için bu boyutta sadece bir "referans" grafiği vardır ve belki de tarafından üretilen grafiklerin simetrileri / asimetrileri kullanılabilir ve verimli ad-hoc izomorfizma test cihazı inşa edilebilir ... ancak bu doğru değil: , tamamen farklı (yapıda) referans grafikleri oluşturmak için (tekli) giriş kullanan bir çeşit polinom zamanlamalı Universal Turing makinesi içerebilir. artışlar. $\Pi_M$ $GI$ $n$ $M$ $M$ $1^n$ $n$

graph-isomorphism

— Marzio De Biasi
kaynak

İlginç,

grafiği üreten bir P-zamanı Turing makinesi

örneği biliyor musunuz ?

M

$M$

G_{M, N}

$G_{M,N}$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: Önemsiz bir örneği için

, bir TM olan

, sadece çıkış

köşe izole (veya başka bir çıkış bir TM olan

). Genelliği kaybetmeden da ikili alfabe boyunca her polinom zaman TM referans grafik oluşturur ki burada bir model düşünebiliriz: İlk çekme

bu durduktan sonra bant bit ve bitişik olması matrisi olarak yorumlar

Π_{M} \in P

$\Pi_M \in P$

M

$M$

n

$n$

K_{n}

$K_n$

n^{2}

$n^2$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

— Marzio De Biasi

TM için

o bildirmiş olduğu

Hamilton döngüsü vardır, o zaman sanırım

değil

M

$M$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

Π_{M}

$\Pi_M$

P

$P$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: Bunun doğru olmadığını düşünüyorum: sadece basit bir döngü oluşturur ki TM almak

düğümler: Herkes için

referans grafiğinin - Bir Hamilton döngüsü var - polinom zamanda kolayca kontrol edilebilir olduğunu. Aklımda sorun

olduğunu göstermek zor gibi görünüyor (oldukça basit) bir jeneratör önemsiz olmayan bir örnek var ; ama soruya eklemeden önce nauty ile bazı testler yapmak istiyorum.

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Marzio De Biasi

Sabit bir M ve N için 1 ^ n'de oluşturulan iki grafiğin aynı olup olmadığına karar vermemiz gereken "Itsy Bitsy" GI'sı ne olacak? (Bu tek

— yönlü

Yanıtlar:

[Bu, bir cevaptan çok birkaç genişletilmiş yorumdan daha fazlasıdır.]

1) Eğer , o zaman hiç her zaman karmaşıklığına bağlı orada-polinom sabittir için bile, diyelim ki, sadece zaman aldığını, : tüm zaman için ise , , o zaman aşağıdaki GI için bir poli-zaman algoritmasıdır. Giriş üzerinde , Turing makinesi oluşturmak ki olmasını sağlar bu saatli $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ asla fazla için çalışır boyutu girdilerine adımları ve bu şekilde ve çözmek zaman içinde . $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$

Herhangi yana 2) , hiçbir sert GI daha, biri çizgisinde en iyi sonuç "olduğunu düşünebilir olmak görünmemektedir biri GI-tamlık sonucudur için umut olabilir". Ancak, en azından aşağıdaki nedenlerden ötürü herhangi bir GI-tamamlanmış olması muhtemel görünmüyor : $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

Bildiğim tüm GI tamlık sonuçları, her boyutta tek bir grafiğe sahip olmak yerine oldukça büyük grafik sınıfları içindir. Tamamen verimlilik gereksinimi damla bile, grafikten herhangi listesinin bilmiyorum öyle ki (ya da ) için izomorfizm test öyle ki Gl-tamamlanır. $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
İlgili bir çoğu (? Tümü) GI-tamlık sonuçlar sadece çok-on azalmalar vardır, ancak aşağıdaki formu vardır: bir işlevi yoktur bir örneğe verilen şekilde GI bölgesinin diğer GI-complete probleminin bir örneğidir. (Bunlar sadece eşdeğerlik ilişkilerinin çok-zamanlı morfizmleri ya da Fortnow ve ben "çekirdek indirgeme" dediğimiz şeydir .) GI'den herhangi bir böyle bir azalma olmadığını (koşulların $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ birden çok grafik çıktılamak için). İpucu: Böyle bir görüntüsünün içinde tamamen yer alması gerektiğini göstererek bir çelişki edinin . $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) , soruda önerildiği gibi evrensel bir TM'ye dayanarak de, belki de etkili bir test cihazı inşa edilebilir, ancak verimli bir şekilde değil. Bu, belki de her biri için, bir , olan ? $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— Joshua Grochow
kaynak

Sorunuza yanıtım yok, ancak bunun P'de olduğunu gösterebileceğimiz daha sınırlı bir sürümünü düşünmeyi öneriyoruz . $\Pi_M$

Sadece grafik ailelerini, kenar sayısı logaritmik olarak büyüyecek şekilde ele alalım. Sorun formülasyonunuzu yeniden yazarak bunu da doğru bir şekilde anlayıp anlamadığımı görmek için bunu resmileştireceğim.

kenarlı yönlendirilmemiş bir grafik , bir ile tarif edilebilir. $G$ $n$ uzun bit dizisi,üst üçgendekibitişiklik matrisinin girişlerini birleştirin. Bu nedenle $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ köşede olası grafik. Bu, aşağıdaki herhangi bir fonksiyon, öyle ki $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ Bütüniçin , bir grafik ailesini tarif eder. Verimli olarak hesaplanabilen bu türfonksiyonları içinolarak tanımlarız $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π_{f} ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

Doğal bir sayı için , , ikili gösterimindeki 1 sayısı olsun. Şimdi, sadece düşünelim verimli hesaplanabilir fonksiyonlar için kendisi için o tutan yukarıda belirtildiği gibi bu, kenar sayısı sadece logaritmik büyüdüğü için grafikler için aile . $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b_{1} (f (n)) \in O (\log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

Biz göstermektedir fonksiyonlarının bu sınıf için P. içindedir $\Pi_f$

Let böyle bir fonksiyonu olabilir ve bir giriş grafik olarak köşe. Referans grafiğini adlandıralım . Referans grafikte en fazla kenarı vardır. Bu nedenle, her MM (maksimum bağlı bileşen) en oluşabilir en olabilir olan köşe . Not olarak, ancak aşağıdaki grafikler herhangi çifti için bu köşe noktaları biz trivially polynomialy zaman wrt içinde izomorfizm kontrol edebilir $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ çünkü tüm permütasyonları deneyebiliriz. Böylece, giriş grafiğinin her bir MCC'sini referans grafikte bir MCC'ye atamak için açgözlü bir algoritma kullanarak her iki grafiğin de izomorf olup olmadığını anlayabiliriz.

— John D.
kaynak

İyi da anlaşılır Eğer

kenarlarının sayısı sadece logaritmik wrt büyürse,

o zaman, eğer polinom zamanda izole köşeleri ve testi batabiliyor kolaydır

referans grafik izomorf. Yani bu kısıtlı sınıfı için

f

$f$

n

$n$

G

$G$

Π_{f} \in P

$\Pi_{f} \in P$

— Marzio De Biasi

Aslında, düşündüğümden daha kolay bir argüman gibi görünüyor. Cevabımla birleştireceğim.

— John

Π_{f}

$\Pi_f$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n / \log \log n)$

(\log n)!

$(\log n)!$

(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}

$(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

2^{\sqrt{v \log v}}

$2^{\sqrt{v \log v}}$ , you can replace

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n/\log \log n)$ by

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$ .

— Joshua Grochow