Bir Rubik Küpünü çözmek için gerekli hamle sayısında yerel maksimum değerler var mı?

Peter Shor , Rubiks küpünün çözülmesinin karmaşıklığına dair daha önceki bir soruyu cevaplama girişimi ile ilgili ilginç bir nokta ortaya koydu. NP'de bulunması gerektiğini göstermek için oldukça saf bir girişim yayınlamıştım. Peter'ın belirttiği gibi, benim yaklaşımım bazı durumlarda başarısız oluyor. Böyle bir örneğin olası bir örneği, yol uzunluğunda yerel bir maksima bulunduğu durumdur. Bununla ben alabilir anlamına konfigürasyonu gelen küpü çözmeye hamle , ve ya veya hamle itibaren bir hamlede ulaşılabilir herhangi pozisyondan küpü çözmeye $n \times n \times n$ $S_A$ $A$ $S_A$ $S_A - 1$ . Şimdi, bu eğer böyle bir sorun olması gerekmez genel olarak küp (çözmek için gerekli hamle sayısıdırTanrı'nın Numarasıo küpün için), ancak eğer kesinlikle bir sorundur o küpün için kesinlikle daha az Tanrı'nın Number daha . Öyleyse benim sorum bu kadar yerel maxima var mı? küpiçin bir cevap bileilgimi çekecektir. $A$ $S_A$ $S_A$ $3 \times 3 \times 3$

co.combinatorics puzzles

— Joe Fitzsimons
kaynak

Bir örneğim olmasa da, olmasaydı şaşırırdım, çünkü bu, yerel bir maksimum olan sadece bir konfigürasyon bularak Tanrı'nın sayısını hesaplayabileceğimiz anlamına geliyor (bu kesin bir tartışma değil).

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ah, ancak Tanrı'nın Sayısının hesaplanmasına kadar yerel maksima olup olmadığı bilinmiyor olabilir! Ancak bu yerel makatların var olacağını umduğuma katılıyorum. Sadece kesin olarak bilmiyorum ve öğrenmek istiyorum.

— Joe Fitzsimons

@Joe: Evet, bu tam olarak benim tartışmam için katı olmayan şey. Daha ayrıntılı bir şekilde şaşırırdım :) eğer ayrıntılı bir arama yapmadan yerel maksima olmadığını kanıtlamak mümkün olsaydı.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Yerel maksima çok kısa yol uzunlukları için oluşamıyor gibi görünüyor ve sadece Tanrı'nın sayısına yakın bir yerde bulunma olasılığı var gibi görünüyor, bu yüzden onların varlığının kesin olmadığını düşünüyorum.

— Joe Fitzsimons

İsteğe bağlı gruplar için Cayley grafikleri yerel maksimaya sahip olabilir. Bu sonucu nerede gördüğümü unuttum, ama bir yerde gördüğüme eminim. Bu yüzden Rubik küp grubu bir şekilde özel değilse, biri de yerel maksimaya sahip olmasını bekler.

— Peter Shor

Yanıtlar:

Tomas Rokicki'ye sormak derhal doğru cevabı verdi ("evet, yerel maxima var"):

Bir pozisyon toplam simetri gösteriyorsa, yerel bir maksimum (zorunlu hariç) olması şarttır. Küçük bir düşünce, neden bunun QTM'deki [çeyrek tur metrik] de böyle olduğunu açıkça göstermelidir. HTM için [yarım tur metrik] biraz daha ince fakat çok da kötü değil.

...

Böyle bir pozisyon, QTM'de 12 ve HTM'de 6 (U2D2F2B2L2R2) olan asinorumdur.

Neden yarım tur metrik için durumun bu olduğunu anlamıyorum; ancak çeyrek tur metrik için açıktır. Toplam simetriye sahip bir pozisyonda, tüm komşu pozisyonlar aynı yol uzunluğunda olmalıdır (çünkü tüm hareketler simetriye denktir). Dolayısıyla, toplam simetriye sahip bir konum ya yerel maksimum ya da katı yerel minimum olmalıdır. Ama sıkı yerel minimum var olamaz ... olmalı bazı sadece mesafenin tanım gereği çözüldü durumuna mesafeyi azaltır hareket. Simetri bağımsız değişken çevirir sağlanan örnek konumu olduğu gibi, küp. $n \times n \times n$

— mjqxxxx
kaynak

Ne kadar basit bir argüman, bu harika!

— Hsien-Chih Chang,

Mükemmel, bu çok hoş bir tartışma!

— Joe Fitzsimons

$N_d$ $d$ $d-1$ $d$ $d+1$ $N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$ $M$ $M$ $d$ $M$ $d+1$

\begin{array}{rcl} X_{d} & = & P [a given position at d is a local max] \\ = & {(\frac{N_{d - 1} + N_{d}}{N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}})}^{M} \\ = & {(1 + \frac{N_{d + 1}}{N_{d - 1} + N_{d}})}^{- M} . \end{array}

$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$

$d$ $N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$ $M=18$ $N_d$ $N_{16} X_{16} = 0.2$ $N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$ $N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$ $d \le 16$ $d=17$ $12 \times 10^{18}$ $d=18$

— mjqxxxx
kaynak

N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$

N_{d}

$N_d$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d + 1

$d+1$

d

$d$ . Bu durumların ne kadar yaygın veya nadir olacağı hakkında hiçbir fikrim yok.

— Joe Fitzsimons