Yaklaşımın sertliği - ilave hata

Zengin bir literatür ve çoklayıcı bir hata bağlamında NP zorlu problemler için bilinen yaklaşık sonuç sonuçlarının sertliğini ortaya koyan çok iyi bir kitap vardır (örneğin, vertex kaplaması için 2-yaklaşım UGC'nin en iyi olduğu varsayımıdır). Bu aynı zamanda APX, PTAS ve benzeri gibi iyi anlaşılmış yaklaşım karmaşıklığı sınıflarını da içerir.

Ek hata dikkate alındığında ne bilinir? Literatür taraması, özellikle çöp kutusu ambalajları için birkaç üst sınır tipi sonucunu göstermektedir (örneğin, http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps ). daha kapsamlı bir karmaşıklık sınıflandırma sınıflandırması mı yoksa neden bu kadar ilginç veya konuyla ilgisi yok?

Bir başka yorum olarak, örneğin, bin ambalajı için, örneğin, her zaman optimal olan 1'den bir ilave uzaklıktaki bir poli zaman algoritmasının bulunamamasının neden teorik bir sebep bulunmadığını bilmem mümkün değil (düzeltilmeye razıyım. ). Böyle bir algoritma, herhangi bir karmaşıklık sınıfını daraltır mı ya da herhangi bir başka önemli teorik vuruş etkisi olur mu?

EDIT: Kullanmadığım anahtar kelime öbeği "asimptotik yaklaşım sınıfı" dır (teşekkürler Oleksandr). Görünüşe göre bu alanda bazı çalışmalar var ancak klasik yaklaşım sınıfları teorisi ile aynı olgunluk aşamasına gelmedi.

Soru biraz açık uçlu, bu yüzden tamamen cevaplanabileceğini sanmıyorum. Bu kısmi bir cevaptır.

Kolay bir gözlem, ilave yaklaşımı göz önüne aldığımızda pek çok sorunun ilgi çekici olmadığıdır. Örneğin, geleneksel olarak Max-3SAT probleminin nesnel işlevi, memnun cümleciklerin sayısıdır. Bu formülasyonda, bir O (1) ilave hatada Max-3SAT'a yaklaşmak, Max-3SAT'in tam olarak çözülmesine eşdeğerdir, çünkü amaç fonksiyonu, giriş formülü birçok kez kopyalanarak ölçeklendirilebilir. Çarpımsal yaklaşım bu tür problemler için çok daha önemlidir.

[Düzenleme: Önceki revizyonda, önceki paragrafta bir Örnek olarak Independent Set'i kullanmıştım, ancak Max-3SAT olarak değiştirdim çünkü Independent Set, çarpımsal yaklaşım ve katkı yaklaşımı arasındaki farkı göstermek için iyi bir örnek değil; Yaklaşan Bağımsız Set, O (1) çarpım faktörü içinde bile olsa NP zordur. Aslında, Independent Set için çok daha güçlü bir yaklaşılmazlık Håstad [Has99] tarafından gösterilmiştir.

Ancak, dediğiniz gibi, ilave yaklaşım yaklaşımı, objektif işlevi ölçekleyemediğimiz çöp kutusu gibi problemler için ilginçtir. Dahası, bir problemi sıklıkla yeniden düzenleyebiliriz, böylece katkı yaklaşımı ilginçleşir.

Örneğin, eğer Max-3SAT’ın nesnel işlevi, memnun cümlecik sayısının toplam maddeye (bazen yapıldığı gibi) oranına göre yeniden tanımlanması durumunda , ilave yaklaşım ilginç hale gelir. Bu ayarda, katkı yaklaşımı, çarpma faktörü 1− ε (0 < ε <1) içindeki yaklaşılabilirliğin bir katkı hatası appro içinde yaklaşılabilirlik anlamına gelmesi anlamında, çarpımsal yaklaşımdan daha zor değildir , çünkü optimal değer daima en fazla 1'dir.

İlginç bir gerçek (maalesef çoğu zaman gözden kaçan gibi görünüyor), bir çok yanlış anlaşılabilirlik sonucunun, belirli boşluk sorunlarının NP'nin bütünlüğünü kanıtlamasıdırbu, sadece NP-çarpımsal yaklaşma sertliği ile uyuşmaz (ayrıca bakınız Petrank [Pet94] ve Goldreich [Gol05, Bölüm 3]). Max-3SAT örneğini sürdürürken, Håstad [Has01] tarafından, 7 / 8'den daha iyi bir sabit çarpımsal faktörde yaklaşık Max-3SAT'a yaklaşmanın NP-zor olduğu iyi bilinen bir sonuçtur. Tek başına bu sonuç, Max-3SAT oran versiyonunun, bazı eşik değerlerin ötesinde sabit bir ilave hatayla yaklaştırılmasının NP-zor olduğu anlamına gelmez. Bununla birlikte, Håstad [Has01] 'ın kanıtladığı şey, sadece çoklu çarpmadaki yaklaşılmazlıktan daha güçlüdür: aşağıdaki söz sorununun her 7/8 < s <1 sabiti için NP-tamam olduğunu kanıtlamıştır :

Boşluk 3SAT _s
Örnek : Her maddesi tam olarak üç farklı değişkenleri kapsar bir CNF formül φ.
Evet-söz : satis tatmin edicidir.
No-vaadi : Hayır gerçeği atama tatmin fazla ler cp maddelerinin fraksiyonu.

Bundan, bir ek hatada Max-3SAT oran versiyonunun 1/8'den daha iyi olduğunu hesaplamanın NP-zor olduğu sonucuna varabiliriz. Öte yandan, olağan, basit rastgele atama 1/8 ek hatada yaklaşıklık verir. Bu nedenle, Håstad [Has01] tarafından elde edilen sonuç, bu problem için sadece optimal çarpma kabiliyetini değil, aynı zamanda optimal katkı kabiliyetini de sağlar. Sanırım literatürde açıkça görünmeyen, bunun gibi birçok ek inaproksisite sonucu var.

Referanslar

[Gol05] Oded Goldreich. Vaat problemleri üzerine (Şimon Bile'nin [1935-2004] anısına bir anket). Hesaplamalı Karmaşıklık Üzerine Elektronik Kolokyum , Rapor TR05-018, Şubat 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] Johan Håstad. Clique n ^{1− ε} içinde yaklaşık zor . Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, Mart 1999. http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] Johan Håstad. Bazı optimal uyumsuzluk sonuçları. ACM Dergisi , 48 (4): 798–859, Temmuz 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Erez Petrank. Yaklaşımın sertliği: Gap konumu. Hesaplamalı Karmaşıklık , 4 (2): 133–157, Nisan 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286

Bu kısmi bir cevap

$ABS$$ABS$

$NP$

- Her bir kübik grafik, polinom süresi boyunca 4 renklendirilebilir ancak kenar 3 renklendirmesi NP sertliğidir.

Maksimum bağımsız ayar sorunu değildir$ABS$$P=NP$

Asimptotik yaklaşım sınıfları ve klasik meslektaşları ile karşılaştırılması üzerine yeni bir çalışma var.

Erik Jan van Leeuwen ve Jan van Leeuwen. Polinom-Zaman Yaklaşımının Yapısı . Teknik Rapor UU-CS-2009-034. Aralık 2009