Tamamlayıcı gevşeklik neden önemlidir?

Dualite hakkında konuşurken tamamlayıcı gevşeklik (CS) yaygın olarak öğretilir. Matematiksel bir bakış açısından primal ve ikili kısıtlama / değişkenler arasında güzel bir ilişki kurar.

CS başvurusunun iki temel nedeni (lisansüstü derslerde ve ders kitaplarında öğretildiği gibi):

1. LP'nin uygunluğunu kontrol etmek
2. İkili çözmenize yardımcı olmak için

Günümüzün bilgi işlem gücü ve LP'leri çözmek için polinom algoritmaları göz önüne alındığında, CS hala pragmatik bir bakış açısıyla ilgili mi? Her zaman ikilileri çözebilir ve yukarıdaki iki noktayı da ele alabiliriz. İkili CS'nin yardımıyla çözmenin "daha verimli" olduğuna katılıyorum ama öyle mi? Yoksa CS'de gözle görülenden daha fazlası var mı? CS, yukarıdaki iki noktanın ötesinde tam olarak nerede faydalıdır ? Yaklaşım algoritmaları hakkında konuşurken CS kavramıyla ilgili metinleri sık sık gördüm, ancak oradaki rolünü anlayamıyorum.

Tamamlayıcı gevşeklik, primal-dual algoritmaların tasarımında anahtardır. Temel fikir:

1. Uygulanabilir bir çift çözümle başlayın $y$.
2. İlkel uygulanabilir bulmaya çalışın $x$ öyle ki $(x, y)$ tamamlayıcı boşluğu gidermek.
3. Eğer 2. adım başarılı olursa işimiz biter. Aksi takdirde bulma engeli$x$ değiştirmenin bir yolunu verir $y$böylece çift objektif fonksiyon değeri artar. Tekrar et.

Klasik bir örnek Macar algoritmasıdır. Ford-Fulkerson algoritması başka bir örnek olarak görülebilir. Adım 2'nin genellikle orijinal optimizasyon probleminden daha kolay olan ve çoğu zaman kombinatoryal olarak çözülebilen bir fizibilite problemi olduğunu unutmayın. Bu tamamlayıcı gevşekliğin gücüdür. Örneğin, en düşük maliyetli iki taraflı eşleştirme durumunda, 2. adım, yalnızca dar kenarlar kullanarak mükemmel bir eşleşme olup olmadığını kontrol eder. Maksimum durumda$s$-$t$ akış, adım 2, doymuş kenarların ayrılıp ayrılmadığını kontrol eder $s$ ve $t$.

Primal-dual algoritmaları birçok nedenden dolayı iyidir. Felsefi olarak, genel bir algoritmadan daha fazla bilgi sağlarlar. Genellikle güçlü polinom zaman algoritmaları verirken, hala güçlü polinom LP çözücülerimiz yoktur. Genellikle genel algoritmalardan daha pratiktirler. LP'yi açıkça yazamıyorsak ve diğer tek seçeneğimiz bipartit olmayan eşleştirme ve Edmonds'un primal-dual algoritmasında olduğu gibi elipsoid algoritması ise bu özellikle doğrudur.

Primal-dual, tamamlayıcı gevşekliğin rahat versiyonlarını kullanarak yaklaşım algoritmaları için de çok yararlı bir çerçevedir. Bu, NP zor problemler için yaklaşım algoritmalarının tasarlanmasında (örneğin, Williamson-Shmoys kitabının 7. Bölümü'ne bakın ) ve iyi rekabetçi orana sahip çevrimiçi algoritmaların tasarlanmasında ( Buchbinder ve Naor kitabına bakınız ) faydalı olmuştur. Buradaki nokta, algoritmanın bir çözüm sağlaması$y$zor bir problemin LP gevşemesinin ikisine kadar ve her adımda ya integral bir primal uygulanabilir buluyor$x$öyle ki yaklaşık tamamlayıcı gevşeklik tatmin ya da ikili bir çözümü iyileştirir$y$. Yaklaşık tamamlayıcı gevşeklik aşağıdaki formun bir koşuludur:$x_i > 0$ ilgili ikili kısıtlama sıkıdır ve eğer $y_j > 0$, ilgili primal kısıtlama, $x$ tarafından ölçeklendirildi $\alpha$. Bu bir yaklaşım faktörü verir$\alpha$. Yukarıdaki iki kaynakta hepsi çok güzel açıklanmıştır.