Polinom zamanında en büyük bağımsız kümenin bulunduğu maksimal sınıflar?

ISGCI listeleri grafiklerin 1100 sınıfları. Bunların çoğu için INDEPENDENT SET'in polinom zamanında karar verilip verilemeyeceğini biliyoruz; Bunlara bazen IS-easy sınıfı denir . Maksimum IS-easy sınıflarının bir listesini derlemek istiyorum . Bu sınıflar birlikte, bu problem için (bilinen) izlenebilirlik sınırını oluşturur.

İzlenebilirliği etkilemeden herhangi bir sınırsız IS-easy sınıfına sınırlı sayıda grafik ekleyebildiğinden bazı kısıtlamalar sıralanmıştır. Sınıfları kalıtsal olanlarla sınırlandıralım (uyarılmış altgrafların alınması altında kapalı veya eşdeğerde, dışlanmış bir uyarılmış altyazılar kümesi tarafından tanımlanmış olarak). Dahası, sadece küçük bir açıklama içeren bir set X için X içermeyen aileleri düşünelim. Orada olabilir vardır da olmak gibi uysal sınıfların sonsuz artan zincirleri ( $(P,\text{star}_{1,2,k})$-ücretsiz ve aşağıda David Eppstein tarafından açıklanan sınıflar), ancak IS-dostu olduğu kanıtlanmış sınıflara olan ilgiyi kısıtlayalım.

İşte bildiklerim:

• mükemmel grafikler
• -ücretsiz$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• -ücretsiz$(K_{3,3}-e, P_5)$
• ko-MEYNIEL
• neredeyse iki taraflı
• sandalye içermeyen
• ( , kriket) -ücretsiz$P_5$
• -ücretsiz$(P_5,K_{n,n})$(herhangi bir sabit )$n$
• -ücretsiz$(P_5, X_{82}, X_{83})$

Bu tür maksimum sınıflar biliniyor mu?

Düzenleme: Ayrıca, dışlanmış küçükler tarafından tanımlanan sınıflarla ilgilenen Yaroslav Bulatov'un sorduğu ilgili bir soruyu , küçük dışlanmış grafikler için kolay olan nedir? ve bkz . Kalıtsal sınıfların Global özellikleri? daha genel bir soru için daha önce kalıtsal sınıflar hakkında sordum.

Jukka Suomela'nın yorumlarda işaret ettiği gibi, küçük dışlanan vaka da ilginçtir (ve ilginç bir soru sorar), ancak buradaki odak noktası bu değil.

David'in örneğinden kaçınmak için, azami bir sınıf, X'teki her grafiğin bağımsız bir köşesi olmadığı X-ücretsiz grafikler olarak da tanımlanmalıdır.

Aşağıdaki cevaplarda verilen sınıflar:

• elma içermez (Standa Živný tarafından önerilir)
• ( , ev) -ücretsiz$P_5$ (David Eppstein tarafından önerilmektedir)
• ( pençe) -ücretsiz$K_2 \cup$ (David Eppstein tarafından önerilmektedir)

Eklenen 2013-10-09: Lokshtanov, Vatshelle ve Villanger'ın Martin Vatshelle tarafından yanıt olarak belirtilen son sonucu, önceden bilinen azami sınıfların bazılarının yerini aldı.

Özellikle, içermeyen varlıktır kolay kapsadığını ( P 5 , Kriket) içermeyen, ( P 5 , K , n , n ) içermeyen, ( P 5 , X- 82 , X- 83 ) içermeyen ve ( P 5 , ev) - hepsi IS kolay.$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

Bu, beş taneye kadar köşeli tek bir yasaklı indeks alt tarafından tanımlanan tüm kalıtsal grafik sınıflarının şimdi kesin olarak IS-easy veya IS-easy olarak sınıflandırılabileceği anlamına gelir.

Ne yazık ki kanıtıdır içermeyen grafikler oluşturmak, bir IS-kolay sınıfı için çalışma görünmüyor P 6 sonraki sınır tek altı köşe grafik ile tanımlanan tüm kalıtsal grafik sınıfları ayırmak için, bu yüzden içermeyen grafikleri.$P_5$$P_6$

Özellikle formu IS-sınıf kolay ilgilenen kalır bazı koleksiyonu için -ücretsiz örneğinde X sonsuz sayıda izomorfizma sınıfları ile grafikler, henüz nerede Y -ücretsiz değil IS-kolay herhangi Y ⊂ X .$X$$X$$Y$$Y \subset X$

Bu soru zaten biraz daha eski, ancak ISGCI burada biraz yardımcı olabilir.

ISGCI Java uygulamasını başlattığınızda ve Problemler -> Sınır / Açık sınıflar -> Bağımsız set menüsüne girdiğinizde, 3 liste içeren bir iletişim kutusu açılır.

Maximal P listesi, IS'nin polinom süresi içinde çözülebileceği tüm C sınıflarını (ISGCI'de) içerir, böylece IS'nin P'de olmadığı bilinen minimum C sınıfı bir üst sınıf vardır (yani NP tamamlanmış, açık veya ISGCI için bilinmeyen). Bir sınıf seçmek ve 'Çizim' tıklamak, sınıfı ve BFS stilinde yürürken bulunan üst sınıfları çizerek, İD'nin P olduğu bilinen bir sınıfı bulmak için gerekli olduğu sürece dahil olma hiyerarşisini oluşturur.

Minimal NP-complete listesi tam tersi bir yol gösterir: IS'nin NP-tamamlanmış olduğu sınıfları içerir, öyle ki tüm maksimal alt sınıflar da NP-tamamlanmış değildir. NP olmayan bir sınıf bulunana kadar çizim hiyerarşide iner.

Açık liste, sorunun açık ya da bilinmeyen olduğu sınıfları içerir. Çizim, açık olmayan bir sınıfa ulaşılana kadar süper / alt sınıfların üzerinde yürür.

Bir çizim oluştururken renklendirmeyi Independent Set problemine (Problemler -> Problem için renk -> Independent set) ayarlamak iyi bir fikirdir.

Standa Zivny'nin sorusu ile ilgili olarak, aşağıdaki 20 sınıf ISGCI'da, ağırlıklandırılmamış IS sorunu için bilinen karmaşıklığa sahip, ancak ağırlıklı vaka için bilinmeyen bir karmaşıklığa sahip olarak listelenmiştir (ISGCI, "basit" ve "karmaşık" polinom algoritmaları arasında ayrım yapamaz):

gc_11 p uzatılmış ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 de kapalı
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X- ₉₈ ) içermeyen
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) içermeyen
gc_752 eş kalıtsal klik-Helly
gc_756 (E, P) içermeyen
gc_757 (P, T ₂ ) içermeyen
gc_758 (P, P ₈ ) içermeyen
gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X- ₉₉ ) içermeyen
gc_808 (Cı- ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) içermeyen
gc_811 (p, yıldız_1,2,5 ) içermeyen
gc_812 (p ₅ , p ₂ ∪ p ₃ ) içermeyen
gc_813 (P, P ₇ ) içermeyen
gc_818 (p, yıldız _1,2,3 ) içermeyen
gc_819 (p, yıldız _{1, 2,4} ) içermeyen
gc_841 (2K ₃ + e, A, Cı- ₆ , e, K _3,3 -e, p ₆ , R, X ₁₆₆ , X- ₁₆₇ , X- ₁₆₉ , X- ₁₇₀ , X- ₁₇₁ , X- ₁₇₂ , X ₁₈ X ₄₅ X ₅ X ₅₈ X ₈₄ X ₉₅ X₉₈ , A, C, ₆ , E, P₆ , R, X ₁₆₆ , X- ₁₆₇ , X- ₁₆₉ , X- ₁₇₀ , X- ₁₇₁ , X- ₁₇₂ , X- ₁₈ , X- ₄₅ , X- ₅ , X- ₅₈ , X- ₈₄ , X- ₉₅ , X- ₉₈ , anten, ko-anteni, ko -domino, ortak balık, ortak ikiz ev, domino, balık, ikiz ev) -ücretsiz
gc_894 ortak dairesel mükemmel
gc_895 güçlü bir şekilde dairesel mükemmel
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ P ₄ , net)

Hiç şüphe yok ki, bunların bir kısmı ağırlıklı vaka için de bilinen algoritmalara sahip olacaktır. Eklemeler ve düzeltmeler, ISGCI web sayfasında verilen adreste her zaman bekler!

Bakmak için ilginç bir makale olabilir:

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca: Elma İçermeyen Grafiklerde Bağımsız Maksimum Ağırlık Kümeleri, Ayrık Matematik Üzerine SIAM Dergisi 24 (1) (2010) 239–254. DOI: 10,1137 / 090750822

Sonsuz elmalar sınıfı her biri bir sap ile C_k, k> = 5 çevrimleri olarak tanımlanır.

IS-kolaylık nosyonunuzun ağırlıklı IS problemini içerip içermediğinden bahsetmiyorsunuz. Sandalyesiz grafikler (yani çatalsız grafikler) IS-easy olarak bilinir:

VE Alekseev, çatalsız grafiklerdeki en büyük bağımsız kümeleri bulmak için polinom algoritması, Ayrık Uygulamalı Matematik 135 (1-3) (2004) 3-16. DOI: (02) 00.290-1 10.1016 / S0166-218X

Ağırlıklı vakanın izlenebilirliği önemsiz bir uzantıdır, bakınız:

VV Lozin, M. Milanic: Çatalsız grafikte bağımsız maksimum ağırlık kümesi bulmak için kullanılan bir polinom algoritması, Journal of Discrete Algorithms 6 (4) (2008) 595-604. doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

Ağırlıklandırılmış IS probleminin ağırlıklandırılmamış durumdan önemli ölçüde daha zor / zorlayıcı / açık olduğu başka (ilginç) sınıflar var mı?

Vassilis Giakoumakis ve Irena Rusu'ya göre, Disk. Baş. Matematik. 1997 , (P5, ev) ücretsiz grafikler (aka (P5, coP5) -ücretsiz grafikler) IS-kolaydır.

ISGCI tarafından V. Lozin, R. Mosca Disc. Baş. Matematik. 2005 , (K2 u pençesi) içermeyen grafiklerin ailesidir .

İzlenebilir sınıfların sonsuz yükselen zincirleri de olabilir.

Kesinlikle sonsuz yükselen zincirler var. H, H içermeyen grafiklerin IS-kolay olduğu sonlu bir grafik seti ise, H'nin H'deki her grafiğe bağımsız bir tepe noktası ekleyerek oluşturduğu grafikler olsun. O zaman H'-serbest grafikler aynı zamanda IS-kolaydır: H-serbest algoritmasını sadece her tepe noktasının komşu olmayan kümelerine uygulayın. Örneğin, ISGCI'ın tarif ettiği gibi, eş-mücevher-olmayan grafikler IS-kolaydır, bir eş-mücevherin bir P4 artı bir bağımsız tepe noktası ve P4-içermeyen grafikler IS-kolaydır. Bu nedenle, muhtemelen, sorunuzu yasaklanan alt yazıların hepsinin bağımsız bir köşesi olmayan azami sınıflarla sınırlandırmak isteyebilirsiniz.

$P_5$

H en çok 5 köşe üzerinde bir grafik olsun, sonra Independent setinin karmaşıklığı H-free grafiklerin sınıfında bilinir.

H, bir döngü veya derece 4 köşesi içeriyorsa sorun zordur. Bağlı H'nin kalan tek vakası $P_5$$H = P_2 \cup P_3$