Doğrusal denklemlerin çözülmesinin karmaşıklığı

Sonlu bir alanda doğrusal bir denklem sisteminin çözülmesinin karmaşıklığı hakkında ne biliniyor? Biliyorum ki$O(n^3)$bir çözümü hesaplayan ve seyrek sistemler için daha da iyi algoritmalar vardır. Ancak, bu sorunun birleşiklik-teorik karakterizasyonu olup olmadığını merak ediyordum. Örneğin, ilgili karar sorunu$\mathbf{NC}$? Herhangi bir karmaşıklık sınıfı için tamamlanmış mı?

Bunun araştırma düzeyinde bir soru olduğundan emin değilim, ancak doğrusal sistemleri $\mathbb F_p$ bir $\mathrm{Mod}_p\mathrm L$Tamamlanmış problem, bu nedenle özellikle$\mathrm{NC}^2$. Daha genel olarak, doğrusal cebir$\mathbb F_{p^k}$ (en azından $k$ sabit) $\mathbb F_p$ durum.

30 yılı aşkın süredir bilinen bir sonuç, Guassian eliminasyonunun $\mathbb F_2$ çeşitli bozunmalarla yapılabilir. $O(n^\omega)$, nerede $\omega$ matris çarpım sabiti.

Referanslar:

Ibarra, O., Moran, S. ve Hui, R. 1982. Hızlı LUP matris ayrışma algoritmasının ve uygulamalarının genelleştirilmesi . Algoritmalar Dergisi 3, 45 {56.

Jeannerod, C.-P. , Pernet, C. ve Storjohann, A. 2011. Gaussain eliminasyonunu ve CUP matris ayrışmasını gösteren sıralama profili .