Sorun

Zamanla değişecek olan yönlendirilmemiş bir grafiğim var (çok kenarlı), düğümler ve kenarlar eklenebilir ve silinebilir. Grafiğin her değişikliğinde, bu grafiğin bağlı bileşenlerini güncellemem gerekiyor.

Özellikleri

Ek özellikler, hiçbir iki bileşenin tekrar bağlanmayacağıdır. Tabii ki, grafik keyfi bir miktarda döngü içerebilir (aksi takdirde çözüm önemsiz olacaktır). Eğer bir kenar düğümü içermiyorsa , asla bu düğümü kabul etmez. Ancak, , bu olabilir değiştirmek .n n ∈ $e$$n$$n \in e$$n \notin e$

Yaklaşımlar

Şimdiye kadar iki olası yaklaşımım var, ancak göreceğiniz gibi korkunçlar:

Yavaş halsiz

Her seferinde değiştirilmiş öğelerden başlayarak grafiği arayabilirim (dfs / bfs). Bu alandan tasarruf sağlar, ancak her değişiklik için O (n + m) olduğu için yavaştır.

Durum bilgisi olan hızlı (-er) (?) Yaklaşım

Her düğüm için tüm olası yolları tüm olası düğümlere kaydedebilirim, ancak doğru görürsem, bu O (n ^ 4) belleği alacaktır. Ancak çalışma zamanı iyileştirmesinin nasıl olduğundan emin değilim (eğer varsa), aynı bileşendeki her düğüm için bilgileri güncel tutmak zorundayım).

Soru

Herhangi bir işaretçiniz var mı, bu sorun hakkında nasıl daha fazla bilgi edinebilirim veya belki de geliştirebileceğim bazı algoritmalar?

Not

Çalışma zamanında / bellekte büyük bir gelişme varsa, bazen iki bileşenin bir olduğunu söyleyen optimal olmayan bir çözümle yaşayabilirdim, ancak elbette en uygun çözümü tercih ederim.

Polilogaritmik zamanda kenar eklemeleri, kenar silme işlemleri ve bağlantı sorgularını (bu iki köşe aynı bağlı bileşende mi?) Destekleyen çeşitli veri yapıları vardır.

• Monika R. Henzinger ve Valerie King. İşlem başına polilogaritmik zamana sahip rastgele tam dinamik grafik algoritmaları . ACM 46 (4) Dergisi : 502-516, 1999.

• Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg ve Mikkel Thorup. Bağlantı için Poli-logaritmik deterministik tam dinamik algoritmalar, en az kapsayan ağaç, 2-kenarlı ve biconnectivity , ACM Dergisi , 48 (4): 723-760., 2001

• Mikkel Thorup. Optimale yakın tam dinamik grafik bağlantısı . Proc. 32. STOC 343-350, 2000.

Bağlı bileşen ayrıştırması için dinamik grafik algoritması denilen şeyi aradığınızı düşünüyorum. Holm, de Lichtenberg ve Thorup [HLT01] algoritması, her kenar güncellemesinde polilogaritmik zamanı amorti etmiştir. Soruna son kez baktığımdan beri uzun zaman geçti, bu yüzden muhtemelen daha yeni bir ilerleme var.

[HLT01] Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg ve Mikkel Thorup. Bağlantı, minimum yayılan ağaç, 2 kenar ve çift bağlantı için poli-logaritmik deterministik tam dinamik algoritmalar. ACM Dergisi , 48 (4): 723–760, Temmuz 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

(Şimdilik maalesef uygulamanız için yeterli olmayabilecek bağlantı sorgularına bağlı kalmama izin verin.)

Dinamik bağlantı sorunuyla ilgili önceki çalışmaların çoğu kenar güncelleme modelindedir: köşe sayısının sabit olduğunu varsayarsınız ve sorgu yaparken kenar ekleyebilir ve / veya silebilirsiniz. Yalnızca ekleyebilir (silebilirseniz), bu artımlıdır (artan). Her ikisini de yapabiliyorsanız, bu tamamen dinamiktir. Thorup'un JeffE (ve yorumda kendim) tarafından işaret edilen çalışmaları tamamen güncellemeler içindir.

AFAIK, CS teorisi topluluğu sadece genel grafikler için köşe güncellemelerine bakmaya başlıyor. Bu konuda FOCS 2008'de Chan, Pătraşcu ve Roditty tarafından çığır açıcı bir çalışma vardı. Çok yakın tarihli (Eylül 2010) bir revizyon ve içindeki referanslar için bu bağlantıya bakın .