TQBF'nin bu değişimi hala PSPACE-tamamlandı mı?

Bu gibi ölçülü bir Boole formülü olup olmadığına karar verme

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

her zaman doğru olarak değerlendirir, klasik bir PSPACE-komple problemdir. Bu, alternatif hamle ile iki oyuncu arasındaki bir oyun olarak görülebilir. İlk oyuncu tek numaralı değişkenlerin gerçeğe uygun değerine, ikinci oyuncu çift numaralı değişkenlerin gerçeğe uygun değerine karar verir. İlk oyuncu çalışır hale getirmek için $\varphi$ = false ve gerçek hale getirmek için ikinci oyuncu denemeden. Kimin kazanma stratejisi olduğuna karar vermek PSPACE tamamlandı.

İki oyuncu ile benzer bir problemi düşünüyorum, biri boolean formülü $\varphi$ doğru yapmaya çalışırken diğeri onu yanlış yapmaya çalışıyor. Aradaki fark, bir hamlede bir oyuncunun bir değişken ve onun için bir doğruluk değeri seçebilmesidir (örneğin, ilk hamle olarak, oyuncu bir $x_8$ true olarak ayarlamaya karar verebilir, sonra bir sonraki hamlede oyuncu iki olabilir) sete karar $x_3$ YANLıŞ olarak). Bu, oyuncuların, hangilerini (henüz bir doğruluk değeri henüz atanmamış) değişkenlerini, oyuna $x_1 , \ldots , x_n$ sırasına göre oynamak yerine bir doğruluk değeri atamak istediklerine karar verebilecekleri anlamına gelir .

Sorun bir boolean formülü verilen $\varphi$ üzerinde $n$ oyuncu bir (yanlış yapmaya çalışıyorum) ya da oyuncu iki (doğru yapmaya çalışıyorum) kazanan bir stratejisi vardır karar vermek değişkenler. Oyun ağacı doğrusal derinliğe sahip olduğundan, bu sorun hala açıkça PSPACE'tedir.

PSPACE tamamlandı mı?

Bu bir olan Sırasız Kısıtlama Memnuniyet oyun ve Pspace-tamamlandıktan ve sadece son zamanlarda Pspace-tam olduğu kanıtlanmıştır ; Bir kanıt bulunabilir:

Lauri Ahlroth ve Pekka Orponen, Sırasız Kısıt Memnuniyet Oyunları . Bilgisayar Bilimleri Ders Notları Cilt 7464, 2012, ss 64-75.

Özet:Oyuncuların mevcut değişkenlerden birini seçerek sırayla doğru veya yanlış olarak ayarlayarak (Oyuncu I için) veya en aza indirmek (Oyuncu için) sırayla oynadıkları Boole kısıtlama sistemlerinde iki oyunculu kısıt memnuniyeti oyunlarını değerlendiriyoruz. II) tatmin edici kısıtlamaların sayısı. Standart QBF tipi değişken atama oyunlarının aksine, değişkenlerin oynatılacağı bir düzen empoze etmiyoruz. Bu, oyun kurulumunu daha doğal hale getirir, aynı zamanda kontrolü daha zor hale getirir. Kısıtlar eşlik işlevleri veya kısıtlamaların aritelerine kıyasla küçük bir eşikli bir eşikli eşikli fonksiyonlar olduğunda, Oyuncu I için polinom-zaman, sabit faktör yaklaşım stratejileri sunuyoruz. Ayrıca, Player'ın tüm kısıtlamaları yerine getirip getiremediğini belirleme sorununun bu sırasız ortamda bile PSPACE-tamam olduğunu kanıtlıyoruz,

İçerikten:

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... Teorem 4 : Bir Boolean formülünün GBF karşılanabilirliğine karar verme sorunu PSPACE-tamamlandı.

EDIT : Daniel Grier's, sonucun 70'lerde Schaefer tarafından da tespit edildiğini buldu , referans için bu sayfadaki cevabına bakın (ve :-) oyuna bakın. Schaefer, her bir kombinasyonda en fazla 11 değişkenle pozitif CNF formüllerine (yani, konjektif normal formdaki önermeli formüller) sınırlı olsa da, oyunun hala PSPACE-tamamlandığını kanıtladı .

Bu sorunun 70'lerde Thomas Schaefer tarafından fin sonlu iki kişilik mükemmel bilgi oyunlarına dayanan karar problemlerinin karmaşıklığı konusunda da çözüldüğünü belirtmek faydalı olabilir . Aslında, pozitif CNF formülleriyle kısıtlandığında bile dilin PSPACE tamamlandı kalması nedeniyle biraz daha güçlü bir sonuç verdiğini kanıtladı.

Bu oyunun 5 CNF'ler için PSPACE tamamlandı olduğunu ancak 2 CNF'ler için Doğrusal Zaman algoritmasına sahip olduğunu kanıtladık. En iyi sonuç Ahlroth ve Orponen'in 6 CNF'leri oldu.

Konferans belgesini ISAAC 2018'de bulabilirsiniz .

Güncelleme: 16 Kasım 2019

3 CNF'ler için oyunun 3 CNF'ler üzerindeki bazı kısıtlamalar altında izlenebilir olduğunu ispatladık. Ayrıca, bu oyunun 3 CNF'ler üzerinde hiçbir kısıtlama olmaksızın da takip edilebileceği kanısındayız. İlk sürümü ECCC'de bulabilirsiniz .