Benzersiz Etiket Kapağından Maks-Cut'a indirgemenin tamamen grafik teorik açıklaması

Eşsiz Oyunlar Konjonktürü ve Max-Cut of Khot ve ark. Makalelerinden ve internetteki başka yerlerden, çoğu yazar MAX-CUT azaltması ile uzun kodlar için özel testler oluşturma arasında örtük bir denklik kullanır (benim için ne). Bu denklik konusundaki kendi netliğim olmadığından, bu düşünce trenini takip etmek için mücadele ediyorum.

Ayrıca, bu açıklamalardan, indirgemenin sadece grafikler açısından tanımlanabileceği açıktır, ancak tesadüf ya da tercihe göre hiç kimse bunu bu şekilde yapmayı seçmez. Örneğin, O'Donnell'in bu ders notlarında , uzun kod testinin inşa edilen grafikteki kenarların doğal bir tanımına karşılık geldiğini ima ediyor, ancak belirtilmediğinden, bu kural bir kesim seçimine bağlı gibi görünüyor test edilmekte olan boolean fonksiyonunu tanımlamak, ve bu beni oldukça şaşırttı.

Bu yüzden birinden indirgemeyi "sadece" grafik-teorik olarak açıklamasını istiyorum. Bunun iki bakış açısı arasındaki denkliği anlamama yardımcı olacağını düşünüyorum.

Bakalım bunu net bir şekilde açıklığa kavuşturabilir miyim? UG örneğinin iki taraflı bir grafik olduğunu varsayalım$G = (V \cup W, E)$, kararlar $\{\pi_e\}_{e \in E}$, nerede $\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$, ve $|\Sigma| = m$. Yeni bir grafik oluşturmak istiyorsunuz$H$ böylece UG örneği $1-\delta$ tatmin edici, o zaman $H$ büyük bir kesime sahip ve UG örneği bile değilse $\delta$- tatmin edici değil, o zaman $H$ sadece çok küçük kesiklere sahiptir.

Grafik $H$ içindeki her köşe için $W$, bir bulut $2^m$ puan, her biri tarafından etiketlenmiş $x \in \{-1, 1\}^\Sigma$. Amaç, etiketlerin uzun kod kodlamasını yorumlayabilmenizdir.$W$ bir kesim olarak $H$. Bazı kodlamak için hatırlayın$\sigma \in \Sigma$ uzun kodla, bir boole işlevi kullanırsınız $f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; özellikle diktatör fonksiyonudur$f(x) = x_\sigma$. Bir kesim yapalım$S\cup T$(yani köşelerin iki bölümlü) uzun kod kodlamasından aşağıdaki gibi. Eğer$w \in W$ boole işlevi tarafından kodlanmış bir etikete sahiptir $f$, içinde tepe noktaları bulutu $H$ karşılık gelen $w$ve koy $S$ bulutta bazıları tarafından etiketlenen tüm köşe noktaları $x$ hangisi için $f(x) = 1$. Diğerleri$T$. Tümüne boole işlevleri atamak için bunu geriye doğru yapabilirsiniz$w \in W$ bir kesime dayanarak $H$.

İndirgemenin çalışması için, sadece bir kesimin değerine bakarak söyleyebilmeniz gerekir$S\cup T$ kesime karşılık gelen boole işlevlerinin, bazı etiket atamalarının uzun kod kodlamasına yakın olup olmadığı $W$ UG kısıtlamalarının çoğunu karşılayan $G$. Yani soru, bir kesimin değerinden ne tür bilgiler aldığımızdır$S \cup T$. Herhangi iki köşeyi düşünün$a$ etiketli $x$ ilgili bulutta $w$ ve $b$ etiketli $y$ ilgili bulutta $w'$ (azaltmada yalnızca $w$, $w'$farklı bulutlarda). Kesimin boolean fonksiyonlarını türetmek için kullanılabileceğini söyledik$f_w$ ve $f_{w'}$. Şimdi bir kenar varsa$(a,b)$ içinde $H$, sonra $(a, b)$ sadece ve sadece $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$. Bu nedenle, indüklediği boolean fonksiyonlarının "iyi" olup olmadığını söylemek için sadece bir kesimin değerini kullanmak, boolean fonksiyonları verilen bir teste sahip olmakla aynıdır.$\{f_w\}_{w \in W}$, yalnızca belirtilen çift listesinin ne kadarının kesileceğini sorar $((w, x), (w', y))$ sahibiz $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$.

Başka bir deyişle, Ryan notlarda ne zaman $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$", onun gerçekten anlamı" $H$, bulutun içindeki tepe noktasına bir kenar ekleyin $w$ tarafından etiketlendi $x$ ve bulut bulutundaki tepe noktası $w'$ tarafından etiketlendi $y$Yani her şey için $v\in V$, komşularının her ikisi $w, w'$, ve hepsi $x,y \in \{-1, 1\}^n$, bulut arasındaki tepe noktası arasındaki kenarı $w$ tarafından etiketlendi $x\circ \pi_{v,w}$ ve bulut bulutundaki tepe noktası $w'$ tarafından etiketlendi $y \circ \pi_{v,w'}$ve kenar ağırlığını atayın $(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ nerede $d$ arasındaki Hamming mesafesi $x$ ve $y$. Bu şekilde bir kesimin değerinin toplam kenar ağırlığına bölünmesi, testin başarı olasılığına tam olarak eşittir.