Permütasyonla ilgili problemlerin karmaşıklığı

ve iki vektör bir grup permütasyonu verildiğinde burada son derece uygun olmayan sonlu bir alfabe, soru bazı olup olmadığıdır şekilde burada permütasyon uygulama aracı üzerinde beklenen bir şekilde. $G$ $[n]=\{1, \cdots, n\}$ $u,v\in \Gamma^n$ $\Gamma$ $\pi\in G$ $\pi(u)=v$ $\pi(u)$ $\pi$ $u$

Ayrıca giriş olarak sonlu bir jeneratör seti tarafından verildiğini varsayalım . Sorunun karmaşıklığı nedir? Özellikle, NP'de mi? $G$ $S$

cc.complexity-theory graph-isomorphism permutations

— user27313
kaynak

Sonlu bir jeneratör grubu ile ne demek istiyorsun? Girdide nasıl temsil edilmektedir?

— RB

Bence bir örnek: iki jeneratör , ve , ve tarafından oluşturulan .

S_{1} = (12) (3)

$S_1=(1 2)(3)$

S_{2} = (13) (2)

$S_2=(1 3)(2)$

G

$G$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

— maomao

Genel olarak bu problem NP-zor olacaktır (muhtemelen bu zaten farkında olmadığım bazı ref üzerinde çalışılmıştır). Yine de başka bir çözüm sorunu (sudoku oyunu ile ilgili), ilginizi çekebilir

— Nikos M.

Dahası bu ters bir sorundur (MAXENT a-la Jaynes'e yaklaşılabilir)

— Nikos M.

Soru NP'nin zor olup olmadığı değil, NP'de olup olmadığıdır. Önemsiz üst sınır sadece PSPACE'dir.

— Emil Jeřábek

Yanıtlar:

Let üzerinde permütasyon grubudur elemanları. Olmadığını test yapılabilir [1] ile değiştirilir. Let , o zaman sadece tahmin , ister polinom zamanda testi olup olmadığını . Bu bir üst sınırı verir. $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$ $S_n$ $n$ $g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$ $\text{NC} \subseteq \text{P}$ $u, v \in \Gamma^n$ $g \in S_n$ $g \in G$ $g(u) = v$ $\text{NP}$

Bu yanıtı tamamlamak için:

Grup üyeliğinin (Furst ve ark. 1980), ardından abelian grupları için (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), nilpotent için gruplar (Luks ve McKenzie 1988), çözülebilir gruplar (Luks ve McKenzie 1988), sınırlı abelyan olmayan kompozisyon faktörleri olan gruplar (Luks 1986) ve son olarak tüm gruplar (Babai ve ark. 1987). Aperiodik monoid üyeliğinin benzer bir karmaşıklık sınıflandırması, herhangi bir sabit aperiodik monoid çeşidine üyeliğin , , veya $\text{P}$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}$ $\text{AC}^0$ $\text{P}$ $\text{NP}$ $\text{PSPACE}$ (ve çok az istisna dışında bu sınıf için tamamlandı).

[1] L. Babai, EM Luks ve A. Seress. NC'deki permütasyon grupları. Proc. yıllık ACM Bilgisayar teorisi sempozyumu, s. 409-420, 1987. $19^\text{th}$

— Michael Blondin
kaynak

Cevabım yanlıştı ve sildim (cevabımda N olarak belirttiğim alt grup genel olarak normal değildi). Sorun P (ve muhtemelen de NC) olduğunu düşünüyorum, ama şu anda bir kanıtım yok.

— Tsuyoshi Ito

Cevabınızın neden yanlış olduğunu anlamıyorum. permütasyon gerçekten kolayca inşa edilebilir, daha sonra grupların bir jeneratör listesi olarak verildiği grup üyeliği Babai, Luks & Seress 87 tarafından NC'de yer alır.

π

$\pi$

— Michael Blondin

Π için bir seçenek kolayca inşa edilebilir, ancak bu π G'ye ait değilse ne yapmalıyız? Muhtemelen en baştan doğru π bulmanın bir yolu var, ama şu anda bunu nasıl yapacağımı görmüyorum.

— Tsuyoshi Ito

Oh, haklısın. NP üst sınırına cevabımı düzenleyeceğim.

— Michael Blondin

Düzenleme için teşekkürler ve yanlış cevabımla karışıklığa neden olduğum için üzgünüm.

— Tsuyoshi Ito

Sorununuz ( -) string izomorfizması olarak bilinir. Graph İzomorfizmi etrafında oldukça dar bir problem sınıfındadır: en azından GI kadar zor ve . $\Gamma$ $G$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

indirgeme: ve çiftler üzerindeki uyarılmış eylemi olmasına izin verin . $N = \binom{n}{2}$ $G \leq S_N$ $S_n$

$\mathsf{coAM}$ protokolü: Arthur rastgele bir öğe seçer (Emin bu tam eşit yapılabilir değilim ama bilinen algoritmalar bu sonucun üniforma yakın yeterince almak düşünüyorum) ve her iki uygular ve . Olasılık 1/2 ile ve , sonra onları Merlin'e sunar ve hangisinin olduğunu sorar. $G$ $u$ $v$ $u$ $v$

— Joshua Grochow
kaynak

Michael Blondin'in cevabına yaptığım cevabı cevabınızla birleştirdiğimde, yanlışlıkla GI'nin P'de (ve muhtemelen NC'de) olduğunu düşünmeye kararlıyım .

— Tsuyoshi Ito