Cebir odaklı teorik bilgisayar bilimleri dalı

Cebirde çok güçlü bir tabana sahibim, yani

• değişmeli cebir,
• homolojik cebir
• alan teorisi
• kategori teorisi,

ve şu anda cebirsel geometri öğreniyorum.

Ben teorik bilgisayar bilimine geçmeye meyilli bir matematik bölümüyüm. Yukarıda belirtilen alanları göz önünde bulundurarak, hangi alanın teorik bilgisayar biliminde en uygun alan olduğu hangisi olacaktır? Diğer bir deyişle, yukarıdaki alanları izleyerek elde edilen teorik ve matematiksel olgunluk hangi alanda yararlanabilir?

Son gelişmeler olmuştur bağımlı tip teorisi ilişki türü sistemlerini için homotopi türleri .

Bu şimdi göreceli olarak küçük bir alandır, ancak şu anda yapılan çok sayıda heyecan verici çalışma ve potansiyel olarak çok sayıda düşük asılı meyve, özellikle de cebirsel topoloji ve homolojik cebir sonuçlarının taşınması ve daha yüksek endüktif türler kavramının biçimlendirilmesinde etkilidir .

Cebirsel geometri, cebirsel karmaşıklık teorisinde ve özellikle geometrik karmaşıklık teorisinde yoğun olarak kullanılır. Temsil teorisi, ikincisi için de çok önemlidir, ancak cebirsel geometri ve homolojik cebir ile birleştirildiğinde daha da faydalıdır.

Alan teorisi bilginiz kriptografide faydalı olurken, kategori teorisi, her ikisi de matematiğin temelleriyle yakından ilgili olan programlama dilleri ve yazım sistemleri araştırmalarında yoğun olarak kullanılır.

Alan teorisi ve cebirsel geometri, hem klasik ortamda hem de yerel olarak kodu çözülebilen kodları ve liste kodunu çözmeyi çalışmanın yanı sıra, hata düzeltme kodlarıyla ilgili konularda yararlı olacaktır. Bunun Reed-Solomon ve Reed-Muller kodları üzerinde çalışmaya devam edeceğine inanıyorum, bu daha sonra cebirsel geometrik kodlara genelleştirildi. Örneğin, cebirsel geometrik kodların klasik kodlama teorisi görünümündeki bu kitap bölümüne , yerel olarak kodlanabilir kodlara ilişkin bu kısa ankete ve Reed-Solomon ve daha genel olarak cebirsel-geometri kodlarına ilişkin liste kod çözme hakkındaki bu ünlü makaleye bakınız .

Değişken cebir ve cebirsel geometri kullanılarak çözülebilen bilgisayarlı öğrenme teorisi, makine öğrenmesi ve bilgisayarlı görmede bazı problemler vardır. Örneğin, Bayesci çıkarım için bir mesaj ileten algoritma olan İnanç Yayılım algoritmasının yakınsaması , polinom denklemlerinin afin çeşitliliğinin karakteristiği açısından formüle edilebilir .

Bilgisayar cebirine bakmayı düşündün mü? Axiom, tip sisteminin Kategori Teorisi (veya görünümünüze bağlı olarak Evrensel Cebir) sonrasında modellendiği bir bilgisayar cebir sistemidir. Axiom FriCAS ve OpenAxiom'un iki türevi daha vardır .

Kategori Teorisi ile ilgileniyorsanız, tip sistemi bakılması gereken bir şey olabilir.

Axiom'da her "öğe" (örneğin "1", "5 * x ** 2 + 1") bir Etki Alanı öğesidir. Bir "Etki Alanı", belirli bir Kategorinin üyesi olarak ilan edilen bir Axiom nesnesidir (örn. Tamsayı, Polinom (Tamsayı)) (R, E, V)).

Kategoriler arasında çoklu kalıtım için bir kalıtım kafes vardır. örn. Kategori Monad, SetCategory, Monad'dan Monoid, Monoid'den Group, vb.

Ayrıca Java'daki Generics'e benzeyen daha yüksek dereceli bir polimorfizm vardır.

Aksiyom içindeki çeşitli eylemler Functors olarak görülebilir, ancak bu buraya girilmesi oldukça fazla olacaktır!

Axiom'u tipik bir son kullanıcı olarak Kategori Teorisi hakkında endişelenmeden kullanmak istiyorsanız, sembolik bir hesaplama sistemi tam olarak bireysel cebirlere bakmak için doğru bir yazılımdır.

$L \subseteq X^{\ast}$

Normal insanlar söz konusu olduğunda cebirsel görüşü şu kişiler kullandı: Otomat Teorisi Üzerine Samuel Eilenberg, Jean Berstel , Jean-Eric pin , Marcel Schützenberg ve Krohn-Rhodes Teorisi .

Ayrıca, Cerny varsayımı etrafındaki çalışmalara dahil olmayan, önemsiz bir cebir yoktur , çoğu oldukça birleştiricidir. Ama daha yakın zamanlarda daha çok lineer cebir, halka teorisi ve temsil teorisi ile daha fazla iş yaptım, Benjamin Steinberg ve Jorge Almeida'ya baktım .

Bu arada, Semigroup, Monoid ve Group teorisi ile bu alanlarda oldukça iyi bir şekilde karşılaşabilirsiniz, ancak Kategori teorisi ve Homotopi Teorisi bu alanda pek kullanılmıyor. Ancak, S. Eilenberg'in, Automata Teorisi'ne katılmasından önce olmasına rağmen, Kategori Teorisinin kurucu babalarından biri olduğunu belirtmek ilginç olabilir.

Brent Yorgey'in tezi , hala sadece bir taslak olsa da, çıkarlarınızın neden TCS ile ilgili olduğunu açıklamak için harika bir iş çıkarıyor.

İşte Joyal'in geçen Nisan ayında ilgili materyallerle ilgili konuşması .

Sanayiyi düşündünüz mü bilmiyorum, ama Ayasdi şirketi veri biliminde çok sayıda homotopi ve diğer uygulamalı topolojik yöntemler uygulayarak harika işler yapıyor. Birçok teoriyi uygulamalarla harmanlıyorlar. Temel olarak, neyin peşinde olduklarını görmek için Stanford Comptop web sitesine bakın. (İnsanların çoğunluğu oradan geldi).

Herkesin söylediğine ek olarak (bu dalların en büyük uygulamasının gerçekten tür sistemlerde olduğunu düşünüyorum):

• Kafes teorisi ve kısmi sıralar, genel olarak dağıtık sistemlerin davranış analizi ve derleyicilerdeki veri akışı analizi için biraz uygulanır.
• Ayrıca Galois bağlantılarının makine öğrenmesine de uygulandığını gördüm (özellikle metin sınıflandırması: İki taraflı bir belge / kelime grafiğinin sol ve sağ köşelerinin alt kümeleri arasındaki Galois bağlantısının bir algoritmayı çarpıcı şekilde hızlandırmasına izin verdim).

Cebir ve Teorik Bilgisayar Bilimi arasındaki bağlantılar çok güçlüdür. Nic Doye, daha önce Bilgisayar Cebirinden bahsetti, ancak açıkça Bilgisayar Cebirinin vazgeçilmez bir parçası olan yeniden yazma sistemlerinin teorisini otomatik denklem çözme ve otomatik muhakeme uygulamaları ile birlikte içermiyordu. Dize yeniden yazma sistemleri, hesaplamalı grup teorisindeki uygulamalarla birlikte önemli bir alt alandır. Mesela Ronald Book ve Friedrich Otto tarafından "String Rewriting Systems" kitabını kontrol edin.

Ayrıca grafik teorisi ile cebir arasında, örneğin grafiklerin ve karmaşık ağların iyi geliştirilmiş spektral teorisini ve ayrıca grafik simetrileri teorisini (Cayley graps, vertex geçişli grafikler ve diğer simetrik grafik türleri teorisi) içeren bir bağlantı vardır. (paralel bilgisayarlarda arabağlantı ağları için yoğun olarak kullanılan modeller). Farklı konulara genel bir bakış için Chris Godsil ve Gordon Royle tarafından yazılan “Cebirsel Grafik Teorisi” kitabına bakın.

Bilgisayar vizyonundaki durumu kontrol edin. Özellikle, listelediğiniz ilk üç alanın yararlı olduğu algoritmik tipte birçok konu var.