P = BQP ise, bu PSPACE (= IP) = AM anlamına mı geliyor?

18

Son zamanlarda Watrous ve arkadaşları QIP (3) = PSPACE'in dikkate değer bir sonuç olduğunu kanıtladı. Bu, en azını söylemek benim için şaşırtıcı bir sonuçtu ve beni düşünmeye itti ...

Quantum Bilgisayarların Klasik Bilgisayarlar tarafından verimli bir şekilde simüle edilebileceğini merak ettim. Bu, IP ve AM arasındaki Bölme ile ilgili SADECE ile ilgili olabilir mi? Demek istediğim, IP'nin çok sayıda klasik etkileşim turu ile karakterize edilirken, AM'nin 2 klasik etkileşim turu vardır. Bir Kuantum Hesaplamayı simüle etmek IP için etkileşim miktarını polinomdan sabit bir değere düşürebilir mi?

— Zelah 02
kaynak

3

Başlıkta “PSPACE (IP)” ifadesini “PSPACE (= IP)” olarak değiştirdim çünkü “A (B)”, “ ” sınıfını belirtmenin daha az yaygın bir yoludur .

A^{B}

$A^B$

— Tsuyoshi Ito

2

Bu arada, kesinlikle , sezginizin 1999'da bilinen QIP (3) ⊇PSPACE yönüne dayandığını düşünüyorum: Watrous 2003 , arxiv.org/abs/cs.CC/9901015 . Aslında, kuantum interaktif kanıtlarını tartışan ilk makale budur.

— Tsuyoshi Ito

18

Harika bir soru! Kısa cevap: bilinmemektedir; ama bu kanıtlamaya çalışmak anlamına gelmez ...

P = B S P \Rightarrow ben P = bir M

$\mathsf{P} = \mathsf{BQP} \Rightarrow \mathsf{IP} = \mathsf{AM}$

Bununla birlikte, böyle bir sonuç bulmanın pek mümkün olmadığını söyleyebilirim. Bence çok kuantum karmaşıklık teorisinin mesajı, kuantum bilgisayarlar zor problemleri çözmek için çok amaçlı bir her derde deva olmasa da, bazı özel durumlarda klasik bilgisayarlardan çok daha güçlü olabilirler.

Örneğin, sorgu karmaşıklığında, kuantum algoritmaları, girdinin hoş bir küresel yapıya uymaya söz verildiğinde, klasik olanların muhtemelen çözemediği bazı sorunları etkili bir şekilde çözebilir. Örneğin, Shor'un algoritması, periyodik olacağı vaat edilen bir fonksiyonun bilinmeyen dönemini hızlı bir şekilde bulmak için bir algoritmaya dayanmaktadır . Öte yandan, kuantum sorgu algoritmaları, girdi üzerinde varsayılan bir yapının olmadığı problemleri çözmek için klasik olanlardan çok daha güçlü değildir. (Bkz. Buhrman ve de Wolf'un bu son nokta için sorgu karmaşıklığı araştırması .)

Benzer şekilde, sonuçların anlattığını düşünüyorum, etkileşim beklenmedik şekilde zayıf değil ( olsa bile ) ancak bu kuantum hesaplaması, özellikle hesapsal olarak sınırsız sağlayıcılarla etkileşim bağlamında beklenmedik bir şekilde güçlüdür . $\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

— Andy Drucker
kaynak

16

Andy'nin yazdıklarına katılıyorum ve bu "cevabın" cevabına bir yorum olmasını istedim, ama açıkça bir yorum yapmak için çok uzun ...

Her neyse, kuantum hesaplamanın (veya belki de kuantum bilgisinin) QIP'de (3) PSPACE'in tutulmasının kanıtlanmasına izin verdiği hakkında daha fazla şey söylemek faydalı olabilir. Bu kapsama ilişkin bilinen kanıtlar, doğrulayıcının kuantum polinom zamanı hesaplanabilir olan fonksiyonları hesaplama yeteneğinden kaynaklanmaz. Daha doğru bir açıklama, kanıtların, bir prover'ın doğrulayıcıyla paylaştığı dolaşmış kuantum durumlarını manipüle edebileceği belirli yollardan faydalanmasıdır. Eğer kanıtlayıcı kuantum bilgisini manipüle edemezse veya paylaşılan dolaşmış durumları kuantum bilgi teorisinin izin verdiğinden daha güçlü bir şekilde sihirli bir şekilde manipüle edebilseydi, ispatlar işe yaramazdı.

Bence PSPACE'in QIP (3) içerisine dahil edilmesi AM ve PSPACE arasındaki ilişki hakkında hiçbir şey söylemiyor.

— John Watrous
kaynak

11

John Watrous ve Andy Drucker'ın cevapları, bazı konuların anlaşılması için mükemmeldir.

$P = BQP$ $PH$ $PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow ve J. Rogers. Kuantum hesaplamada karmaşıklık sınırlamaları . Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi, 59 (2): 240-252, 1999. 13. IEEE Hesaplamalı Karmaşıklık Konferansı'ndan seçilen makaleler için özel sayı. Burada da mevcuttur .

— Joshua Grochow
kaynak

6

Diğer cevaplar mükemmeldir ve bu, bunların hiçbirinin yerine geçmek veya onunla çelişmek anlamına gelmez, sadece P = BQP'nin kuantum ve klasik interaktif kanıt sistemleri (sabit turlar için) arasında neden eşitlik anlamına gelmediğine dair bazı sezgi sunmaktır. Ancak şimdi Jain, Ji, Upadhyay ve Watrous'un çalışmaları sayesinde QIP = IP olduğunu biliyoruz, bu yüzden bu tür eşitliklerin asla gerçekleşmediğini iddia etmeye çalışmıyorum.

Sadece P = BQP olduğunu varsayarsak, sadece hangi karar problemlerinin kuantum ve klasik modeller tarafından cevaplanabileceği hakkında bir şeyler öğreniriz. Modellerin aslında aynı olduğunu ima etmekle aynı şey değildir. Temel fark, kuantum bilgisayarların süperpozisyonda durumları işleyebilmesidir, bu da girdilerinin ve çıktılarının klasik durumlarla sınırlı olması gerekmediği anlamına gelir. Bu, kuantum ve klasik modeller arasındaki çok önemli bir farktır, çünkü kuantum giriş / çıkışı, klasik durumların üst üste binmeleriyle oraclesları sorgulamayı veya doğrulayıcı ve kanıtlayıcı arasında kuantum durumlarını (potansiyel olarak üstel klasik tanımlara sahip olabilen) iletmeyi mümkün kılar. Gerçekten de, BQP'yi P'den ayıran kehanetler mevcuttur ve kuantum iletişimi, bir dizi problem için iletişim karmaşıklığının azalmasına yol açar. Böylece,

Bu nedenle iletişim / kehanet sorgularını kullanan durumlarda kuantum ve klasik modellerin eşit olup olmadığı konusunda P = BQP'nin belirleyici faktör olup olmadığı sorusu.

— Joe Fitzsimons
kaynak