Bir grafiğin seçilebilirliğini daha düşük düzeyde sınırlamak için kaç farklı renge ihtiyaç vardır?

Bir grafiktir -choosable (aynı zamanda -Tedarikçilerin listesi-renklendirilebilir her fonksiyonu için, eğer varsa) kümelerine köşe haritalar renk, bir renk atama olduğunu gibi tüm noktalar için, bu , de ve öyle ki, tüm kenarlar için , .$k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

Şimdi bir grafiğinin seçilebilir olmadığını varsayalım. Yani, köşelerden geçerli renk ataması olmayan renklerin renklerine kadar bir işlevi vardır .Bilmek istediğim şu ki, toplamda kaç renk gerekli? değeri ne kadar küçük olabilir ? Yalnızca farklı renkler kullanan renklendirilemez bir bulma konusunda garanti verebileceğimiz bir sayısı bağımsız mı?$G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

CS alaka ise bu durum geçerlidir var, biz test edebilirsiniz sabiti için -choosability sadece tüm denemek (tek başına-üstel sürede \ binom {N (k)} {k} ^ n seçimler f ve her biri için k ^ nn ^ {O (1)} ) zamanında renklendirilebildiğini kontrol edin, aksi halde n ^ {kn} gibi daha hızlı büyüyen bir şey gerekli olabilir.$N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$$f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Daniel Král ve Jiří Sgall sorunuzu olumsuz cevapladı. Bildiri özetlerinden:

Bir grafik olduğu söylenir orgulnuin herhangi listelerinden renkli olabilir, eğer -choosable ile , tümü için ile ve . Her , seçilebilir fakat seçilebilir olan bir grafiği oluştururuz.$G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

Yani, eğer ise yoktur . Král ve Sgall da olduğunu göstermektedir . Tabii ki, .$N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

Daniel Král, Jiří Sgall: Sendikalarının sınırlı büyüklüğüne sahip listelerden grafikler boyama . Grafik Teorisi Dergisi 49 (3): 177-186 (2005)

Utanç verici bir terfi olarak, Marthe Bonamy ve ben daha olumsuz cevaplar bulduk. Özellikle, http://arxiv.org/abs/1507.03495 tarihli Teorem 4, bazı durumlarda Král 've Sgall'ın yukarıda bahsedilen sonucunu geliştirir. Kullandığımız örnekler, onları analiz etmek için bazı ekstremal birleştirici yöntemleri kullandığımız, tam iki taraflı grafiklerdir.

Bu çalışma kısmen bu TCS taşması sorusuyla motive edildi.