Rahatlatıcı kısıtlamaları bir optimizasyon

Aşağıdaki gibi çerçevelenebilecek bir fizibilite sorum var. Bir nokta verileni bir de boyutlu vektör alanı ve ben en yakın noktası bulmak istiyorum için o karşılar "bir dizi formun kısıtlamaları" $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

Verilen bir dizi en bir az, sıfırdan farklı olabilir. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

Yakınlık kavramı değişir, ancak şimdilik gibi uygun bir mesafeyi kabul etmek yeterlidir $\ell_2^2$ .

Orijinal kısıtlamalara yaklaşmak için "yeterince yakın" bir politop sağlama anlamında "iyi" olan doğrusal kısıtlamalarda bilinen gevşeme var mı, "yeterince yakın" tanımında da oldukça esnekim

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
kaynak

Kısıtlamaların doğrusal olmayan şekilde bağımlı olmasına izin veriliyor mu?

p

$p$

— Warren Schudy

Ne tür bir politop aradığınız hakkında ayrıntılı bilgi verebilir misiniz? Sıfır olmayan bir koordinat ile mümkün olan noktasının dışbükey gövdesi , bu nedenle uygulanabilir noktaları kümesinin iyi bir çokyüzlü yaklaşım umudu yoktur .

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— Warren Schudy

Eğer önceden bilinen bir sabitse, o zaman herhangi bir mesafe sabiti için , dahilindeki uygulanabilir noktaları kolayca hesaplayabilirsiniz (sadece tek bir kısıtlamaya bakarak). Bazı metrikler için uygulanabilir noktalar bir politoplar birleşimi olacaktır; diğerleri için bunlara yaklaşık olarak yaklaşmanız veya bir ayırma kehaneti kullanmanız gerekebilir. Sonra bunların dışbükey gövdesi içinde olduğunu kodlayan doğrusal kısıtlamalar yazın .

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— Warren Schudy

@warren: kısıtlamalar doğrusal olarak p'ye bağlıdır, ancak p'nin kendisi sabit değildir (daha çok sorunun girdisi). Kısıtlamalar yukarıdaki türdendir veya q_i üzerindeki doğrusal kısıtlamalardır.

— Suresh Venkat

Sorunu doğru anladığımdan emin değilim, ancak yazıldığı gibi, sorun birkaç basitleştirmeyi kabul ediyor gibi görünüyor ve özellikle ℓ ₂² davasında sorun yanılmıyorsam minimum ağırlık köşe kapağına eşdeğer.

Genelliği kaybetmeden şunu varsayabiliriz | S | = her kısıtlamada 2, çünkü | S |> 2, S'nin orijinal S grubundaki tüm eleman çifti üzerinde çalıştığı sınırlama kümesine eşdeğerdir . Bu nedenle, ℓ ₀ kısıtlamaları, d köşeleri olan bir grafik G olarak görselleştirilebilir . Grafik kullanarak G , aşağıdaki gibi kısıtlamalar yeniden ifade edilebilirler: köşe grubu koordinatlarına tekabül eden I ile q _i 0 olan bir tepe kapağı olmalıdır = G .
Mesafenin ℓ ₂² veya bir norm ile tanımlandığını varsayın . Bu durumda, herhangi bir nokta q noktası dönüştürülebilmektedir q 'her için tatmin i , q ' _i ∈ {0, p _ı }, sadece ayarıyla ve bu dönüşüm asla p noktasından uzaklığı artırmaz . Özellikle, mesafe koordinat olarak mesafenin toplamıysa (is ₂² mesafesinde olduğu gibi), sorun minimum ağırlık tepe örtüsü ile tamamen aynıdır. $q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$

Tepe kapağı sorununun LP gevşemesine gelince, hızlı bir arama Uriel Feige tarafından verilen ders notlarına (Ders 9) yol açar .

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Oldukça ilginç. Hakkında | S | 2'den fazla olması gerekmiyor

— Suresh Venkat

İşe yaramayan bir şey var. Değişkenler genel olarak keyfi olabilir (sıfır ile bir arasında değil). Dolayısıyla, "sıfır olarak ayarlanan değişkenler bir tepe noktası oluşturmalıdır" için LP kısıtlamalarını gerçekten kodlayamazsınız. Bu, (bahsetmem gereken) bir sorun haline geliyor çünkü koordinatlarda da dahil edilmesi gereken başka (doğrusal) kısıtlamalar var.

— Suresh Venkat

@Suresh: Eğer gerçekten bahsettiğinizi düşünüyorsanız, her zaman soruyu değiştirebilirsiniz.

— Tsuyoshi Ito

@Suresh: “Gerçekten bahsetmen gerektiğini düşünüyorsan …” demek istedim.

— Tsuyoshi Ito