Vektörlerin nokta ürününün varyansının birim vektörlerinin tüm dağılımları üzerinde minimum nedir?

Bir dağıtım üzerinde bulmaya çalışıyorum $n$ say, rasgele vektörler $x_1,\ldots, x_n$ üzerinde, $k$ boyutlu birim küre (burada $n > k$ ) o en aza indirir $\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$ kısıt tabi $\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$ .

Bazı dağılımları denedim ve neredeyse hepsinin 1 / k varyansı var $1/k$. Örneğin, her bir x_i'nin her bir koordinatının \ left \ {- 1 / \ sqrt {k}, 1 / \ sqrt {k} \ right \} arasından $x_i$bağımsız ve eşit bir şekilde seçildiği dağılım ve her bir x_i 1 / k varyansına sahip k -boyutlu birim küredeki bağımsız tek tip vektördür .$\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$$x_i$$k$$1/k$

Tüm dağılımlar arasında minimum varyans 1 / k mı $1/k$?

Problemin eşdeğer fakat daha basit görünen bir formülasyonunu sunacağım ve ( n / k - 1) / ( n = 1) alt sınırını göstereceğim . Ayrıca, kuantum bilgisinde açık bir probleme bağlantı da gösteriyorum. [Revizyon 3'te düzenleme: Önceki revizyonlarda, aşağıda gösterilen alt sınırın elde edildiği vakaların kesin bir karakterizasyonunun zor olabileceğini iddia ettim çünkü karmaşık vakadaki benzer bir soru, SIC-POVM'ler hakkında açık bir problem içeriyor kuantum bilgisi. Ancak, SIC-POVM'lerle bu bağlantı yanlıştı. Ayrıntılar için, aşağıdaki “Kuantum bilgisinde SIC-POVM'lere yanlış bağlantı” bölümüne bakın.]

Eşdeğer formülasyon

İlk olarak, daniello'nun cevabında belirtildiği gibi, Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. Yani cevabın geri kalanında, biz varyans unutup yerine maksimum minimize _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ].

Daha sonra, hedefimizin maksimum _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] değerini en aza indirmeye karar verdiğimizde , E [ x _i ^T x _j ] = 0 kısıtlamasını göz ardı edebiliriz. birim vektörler x ₁ ,…, x _n , o zaman objektif fonksiyonun değerini değiştirmeden max _{i ≠ j} E [( E [ x _i ^T x _j ] = 0'ı tatmin etme olasılığını her biri bağımsız olarak 1/2 ile ortadan kaldırabiliriz. x _i ^T x _j) ² ].

Ayrıca, objektif fonksiyonun maks _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 'den (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] olarak değiştirilmesi optimum değeri değiştirmez. İkincisi en fazla eskidir çünkü ortalama en fazla maksimuma sahiptir. Ancak, ( i , j ) ( i ≠ gibi farklı seçimler için her zaman E [( x _i ^T x _j ) ² ] değerlerini yapabilirizj ) permutasyonu ile eşit n vektörleri x ₁ , ..., x _{, n} rasgele.

Bu nedenle, herhangi bir n ve k için , söz konusu sorunun optimum değeri minimum (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] 'ye eşittir, burada x ₁ ,…, x _n birim vektörleri in ^k cinsinden değer olarak alan rastgele değişkenlerdir .

Ancak, beklentinin doğrusallığı ile, bu objektif fonksiyon beklenen E değerine eşittir [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ]. Minimum değer en fazla ortalama olduğu için, artık olasılık dağılımlarını dikkate almaya gerek yoktur. Yani, yukarıdaki sorunun optimum değeri, aşağıdakilerin optimum değerine eşittir:

(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ^2'yi küçültmek için birim vektörleri x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^{k seçin} .

Alt sınır

Bu eşdeğer formülasyonu kullanarak, optimal değerin en azından ( n / k - 1) / ( n −1) olduğunu kanıtlayacağız .

1≤ i ≤ n için , X _i = x _i x _i ^T birim vektörü x _i'ye karşılık gelen sıra-1 projektör olsun . Ardından, ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j ) tutar.

Let Y Σ = _I x _i . Sonra, ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n'yi tutar .

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k ve dolayısıyla ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ^{2 anlamına gelir} / k - n . N ( n −1) 'e bölerek , objektif değerin en azından ( n / k - 1) / ( n −1) olduğunu elde ederiz .

Özellikle, n = k +1 olduğunda, daniello'nun cevabı optimal değerden 2 faktör içinde yer alır.

Bu alt sınır ne zaman elde edilebilir?

Bu alt sınıra ( n / k - 1) / ( n −1) ulaşmak, Y = ( n / k ) I yapılmasına eşdeğerdir . Ulaşılabilir olduğunda kesin karakterizasyonu bilmiyorum, ancak aşağıdaki yeterli koşullar mevcut:

• Zaman , n = k + 1, bu göz önüne alınarak ulaşılabilir k düzenli meydana + 1 birim vektörleri k 2 / (dan iyileştirilmesi, merkezi orijinde -simplex k ( k optimum 1 / için Daniello yanıtında + 1)) k ² .
• Zaman n, bir katı olan k , bu ℝ ortonormal bir sabitleme açıkça ulaşılabilir ^k ve baz vektörlerinin her atama n / k bir hacim ₁ , ..., v _{, n} .
• O bazı seçimi ile ulaşılabilir olup olmadığını Daha genel geçen mermi noktasından daha, k ve her iki n = n ₁ ve n = n ₂ , o zaman da aynı için ulaşılabilir k ve n = n ₁ + n ₂ . Özel olarak, bu ulaşılabilir olup olmadığını , n = bir K + b burada bir ve b sağlayan tamsayılardır bir ≥ b ≥0.

Ayrıntıları kontrol etmeme rağmen, herhangi bir küresel 2 tasarımının bu alt sınıra ulaşan bir çözüm verdiği anlaşılıyor .

Kuantum bilgisinde SIC-POVM'lere yanlış bağlantı

Daha önceki revizyonlarda şunları söyledim:

Buna tamamen cevap vermenin zor bir soru olduğundan şüpheleniyorum. Bunun nedeni, karmaşık space ^k vektör uzayını düşünürsek , bu sorunun kuantum bilgisinde açık bir problemle ilgili olmasıdır.

Fakat bu ilişki yanlıştı. Nedenini açıklayacağım.

Daha doğrusu, aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

Küçültmek için birim vektörleri x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^{k seçin} (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

Yukarıdaki alt sınır bu karmaşık versiyonda eşit olarak geçerlidir. Karmaşık sürümde n = k ² olduğu durumu düşünün . Daha sonra alt sınır 1 / ( k + 1) 'e eşittir .

Şimdiye kadar, doğruydu.

Bir dizi k ² birim vektörleri x ₁ , ..., x _{k ²} ∈ ℂ ^k denen alt sınır elde SIC-POVM ebatlan k ,

Bu bölüm yanlıştı. Bir SIC-POVM bir dizi k ² birim vektörler x ₁ , ..., x _n ∈ ℂ ^k kendisi için | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( k +1) tüm i ≠ j için . Gereklilik tüm çiftleri için tutmalı buraya geldiğini hatırlatırız i ≠ j , tüm çiftleri üzerinde sadece ortalama i ≠ j . “Eşdeğer formülasyon” bölümünde, maksimumu minimuma indirmek ve ortalamayı minimize etmek arasındaki denkliği gösterdik, ancak bu mümkün çünkü x ₁,…, X _n , birim vektörleri alan rastgele değişkenlerdir. Burada x ₁ ,…, x _n sadece birim vektörlerdir, bu yüzden aynı hileyi kullanamayız.

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$ (xa⋅xb)2=0abVar[xa⋅xb]=E[(xa⋅xb)2]=$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$. Böylece, her söz konusu olan , : $a$$b$

Benim sezgim bu alır gibi kötü (küçük) ama bir kanıt yok olmasıdır. Daha ilginç olan, bu yapının n >> k için ve 'nin bağımsız olarak seçilmesi gerektiğinde (muhtemelen farklı dağıtımlardan) görünmesidir .$x_i$