Yüksek dereceli polinomlar için rastgele kimlik testi?

Let bir olmak -variate polinom boyutu poli bir aritmetik devre olarak verilen ve izin , bir asal. $f$ $n$ $(n)$ $p = 2^{\Omega(n)}$

Derecesi olmasa bile, üzerinde aynı sıfır olup olmadığını , zaman ve hata olasılığı ile test edebilir misiniz? a priori sınırlı mı? Ya tek değişkenlerse? $f$ $\mathbb{Z}_p$ $\mbox{poly}(n)$ $\leq 1-1/\mbox{poly}(n)$ $f$

Eğer verimli bir test anlamına Not özdeş bir şekilde sıfırdır biçimsel anlatım , büyüklükte bir alanın üzerine Schwartz-ZIPPEL uygulayarak söylemek , azami derecede çünkü olan . $f$ $2^{2|f|}$ $f$ $2^{|f|}$

polynomials arithmetic-circuits

— user94741
kaynak

derece üzerinde sınırınız yoksa, belirli bir işlevi gerçekleştiren bir polinom yok mu?

— Peter Shor

@PeterShor: OP gelmez derecesine bağlı bir var; [ ] içindeki kapı sayısı 2'den fazla olamaz .

$\:$

f $\hspace{.04 in}f\hspace{.02 in}$

$\;\;\;\;$

Bu sorunun en önemli noktasının, GF (p) alanının ne standart bir şekilde rastgele bir polinom-zaman algoritması oluşturmak için Schwartz – Zippel lemmasını kullanacak kadar büyük, ne de yeterince küçük (GF (2) gibi) olduğunu düşünüyorum. ) standart bir şekilde SAT'dan bir azaltma oluşturmak için aritmetreyi kullanmak.

— Tsuyoshi Ito

Tek değişkenli durumda, soru bölüp bölmediğini sorar ; bu, yardımcı olursa daha geniş bir alanda kontrol edilebilir. Çok değişkenli genelleme olup olmadığından emin değilim.

xp- 1 $x^p-1$

f $f$

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving Teşekkürler! Verimli bir şekilde kontrol etmek kolay mı bir devre olarak verildiğinde ?

(xp- 1 ) | f $(x^p - 1) | f$

f $f$

— user94741

Sorunun girdisinin ne olduğu ve kısıtlamasını nasıl uyguladığınız tam olarak açık değil , ancak herhangi bir makul formülasyon altında cevap, NP = RP olmadığı sürece çok değişkenli polinomlar için hayır değildir , Aşağıdaki azalma nedeniyle. $p=2^{\Omega(n)}$

Bir asal güç Verilen ikili ve bir Boole devresi içinde (sadece kullanarak wlog ve kapıları), biz polinom zamanda bir aritmetik devre inşa edebilir öyle ki IFF edilemezdir olan üzerinde aynı sıfır polinom hesaplar aşağıdaki gibi: çevirmek ile , ile ve değişken ile boyutu bir devre ile ifade edilebilir ( kullanılarak tekrar kare alma ). $q$ $C$ $\land$ $\neg$ $C_q$ $C$ $C_q$ $\mathbb F_q$ $a\land b$ $ab$ $\neg a$ $1-a$ $x_i$ $x_i^{q-1}$ $O(\log q)$

Eğer asal ise (ki gerçekten önemli olduğunu düşünmüyorum) ve yeterince büyükse, indirgemeyi tek değişkenli bile yapabiliriz: tanımını değiştirelim, böylece polinom Bir yandan, her için , bu nedenle tatmin edici değilse , her için . Öte yandan, tatmin edilebilir olduğunu varsayalım , , burada . Dikkat edin $q=p$ $C_p$ $x_i$

f i (x) = ((x + i) (p - 1) / 2 + 1) p - 1 .

$f_i(x)=((x+i)^{(p-1)/2}+1)^{p-1}.$

fi(a)∈{0,1} $f_i(a)\in\{0,1\}$

a∈Fp $a\in\mathbb F_p$

C $C$

Cp(a)=0 $C_p(a)=0$

a $a$

C $C$

C(b1,…,bn)=1 $C(b_1,\dots,b_n)=1$

bi∈{0,1} $b_i\in\{0,1\}$

f i (a) = {10 if a + i is a quadratic residue (including 0), if a + i is a quadratic nonresidue.

$f_i(a)=\begin{cases}1&\text{if $a+i$ is a quadratic residue (including $0$),}\\ 0&\text{if $a+i$ is a quadratic nonresidue.}\end{cases}$ Böylece, eğer , olacak şekilde her . Peralta'daki sonuç 5, için böyle her zaman var olduğunu ima eder .

Cp(a)=1 $C_p(a)=1$

a∈Fp $a\in\mathbb F_p$

a + i is a quadratic residue ⟺ b i = 1

$a+i\text{ is a quadratic residue }\iff b_i=1$

i=1,…,n $i=1,\dots,n$

a $a$

p≥(1+o(1))22nn2 $p\ge(1+o(1))2^{2n}n^2$

— Emil Jeřábek
kaynak

Tek değişkenli azalma , tuhaf olduğu sürece asal olmayan için de işe yarar (ve muhtemelen güçlerini başka bir şekilde ele alabilir). sabitleri yerine alanın farklı öğesinin sabit bir dizisi alınabilir ; Gerekli tekrar varsa Peralta kağıdı ile esas olarak aynı bağımsız değişken (gerçek iş Weil en bütün sonlu alanları için geçerlidir karakter toplamlar, üzerine bağlanmış olan).

q $q$

2 $2$

1,…,n $1,\dots,n$

n $n$

a $a$

q≥22nn2 $q\ge2^{2n}n^2$

— Emil Jeřábek

Ah, evet: eğer , biz düzeltmek -linearly bağımsız ve tercüme ile , burada , .

q=2k≥2n $q=2^k\ge2^n$

F2 $\mathbb F_2$

{ai:i=1,…,n}⊆Fq $\{a_i:i=1,\dots,n\}\subseteq\mathbb F_q$

xi $x_i$

T(aix) $T(a_ix)$

T(x)=∑j<kx2j $T(x)=\sum_{j<k}x^{2^j}$

Fq/F2 $\mathbb F_q/\mathbb F_2$

— Emil Jeřábek