Sayılması zor fakat karar vermesi kolay bir polinom var mı?

Her monoton aritmetik devre , yani bir devresi, negatif olmayan tamsayı katsayılarıyla bazı çok değişkenli polinom x_n) hesaplar . Bir polinom verildiğinde devreF ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• değerlerini hesaplar ise tüm tutan ; F ( a ) = f ( a ) a ∈ N$f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• sayımları ise tüm tutan ; F ( a ) = f ( a ) a ∈ { 0 , 1 } $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• karar eğer tam olarak ne zaman için tüm tutan . F ( a ) > 0 f $f$$F(a)>0$a ∈ { 0 $f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

Devre boyutu boşluğu "hesaplar / sayımlar" üstel olabileceğini gösteren açık polinom (hatta çok satırlı) biliyorum . Benim sorum "sayım / karar" boşluğu ile ilgilidir.$f$

Soru 1: devreleriyle karar vermekten katlanarak daha zor olan herhangi bir polinom bilen var mı? { $f$$\{+,\times\}$

Olası bir aday olarak, değişkenleri üzerindeki grafiğinin kenarlarına karşılık gelen PATH polinomu ve her , düğüm düğüm basit bir yola karşılık gelir . Bu polinom edilebilir karar boyutuna sahip bir devre , mesela, Bellman-Ford dinamik programlama algoritması uygulanması ve her olduğunu göstermek için nispeten kolaydır -Devre işlem YOL mutlaka boyutu . { 1 , $K_n$1 $\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$$2^{\Omega(n)}$

Öte yandan, PATH sayımı yapan her devre PATH problemini çözer , yani K_n'nin karşılık gelen - giriş alt belirtilen to- yollarının sayısını sayar . Bu, P -tamamlanmış bir sorundur . Bu yüzden hepimiz PATH'ın herhangi bir sayım polinom büyüklüğünün sirkülasyonuna sahip olamayacağına "inanıyoruz" . "Tek" sorun bunu kanıtlamaktır ... 1 n 0 1 K $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

İlgili bir Hamilton yolu polinomu HP'sini sayan her devresinin üstel boyut gerektirdiğini gösterebilirim . Bu polinom denk gelir monomials -to- n de yolları K , n tüm düğümlerin ihtiva etmektedir. Ne yazık ki, indirgeme bölgesinin # için HP # Valiant Path Vandermonde matrisin tersini hesaplamak için gereklidir, ve bu nedenle tarafından uygulanan edilemez { + , x } -Devre.$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

Soru 2: Herkes bir gören var monoton azaltılmasını için HP # PATH? $\#$$\#$

Ve sonunda:

Soru 3: P sınıfının "monoton bir versiyonu" hiç dikkate alındı ​​mı? $\#$

Not : Çok sınırlı bir devre sınıfından bahsettiğime dikkat edin: monoton aritmetik devreler! Sınıfına ise , Soru 1 hiç sormaya sadece haksızlık olur -circuits: daha alt sınır daha büyük böyle devreler için, belirli bir polinom hesaplamak için gerekli zaman bile içindeki tüm girdilerde bilinir. Ayrıca, bu tür devrelerin sınıfında, Soru 1'in "yapısal bir analogu" - çok boyutlu ile karar verilebilen P-tamamlanmış polinomlar var mı?$\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$$\{+,-,\times\}$-circuits? - olumlu cevap var. Örneğin, kalıcı PER polinomu PER . $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

EKLENDİ: Tsuyoshi Ito 1. soruya çok basit bir numara verdi. Yine de Soru 2 ve 3 açık kalır. PATH sayma durumu, hem standart bir DP problemi hem de # P-complete olduğundan kendi başına ilginçtir.

(OP'nin talebine yanıt olarak yorumlarımı cevap olarak gönderiyorum.)

Soru 1'e gelince, f _n : {0,1} ⁿ → ℕ aritmetik devresi üstel boyut gerektiren bir fonksiyon ailesi olsun. Daha sonra f _n +1 de öyle, ancak f _n +1 önemsiz monoton aritmetik devre ile karar vermek kolaydır. Monoton aritmetik devrelerde sabitlerden kaçınmayı tercih ederseniz, f _n : {0,1} ⁿ → ℕ, f _n için aritmetik devre üstel boyut ve f _n (0,…, 0) gerektirecek şekilde bir işlev ailesi olsun. = 0 ve f _n + x ₁ +… + x _n düşünün .