Bir cateogries teorisi için univalence ile iskelet kavramını ilişkilendirme

Diyelim ki, homotopi türü kuramında çalışıyorum ve tek çalışma nesnelerim geleneksel kategoriler.

Buradaki eşdeğerlikler, kategorilerinin denkliklerini sağlayan ve . ve doğal izomorfizmler vardır böylece bu işlev ve "ters" işlev birim işleve dönüştürülür.$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

Şimdi tekdüzelik , kategoriler hakkında konuşmayı seçtiğim kasıtlı tip teorisinin kimlik tipiyle eşdeğerliklerle ilgilidir . Sadece kategorilerle uğraştığım ve izomorfik iskeletleri varsa bunlar eşdeğer olduğundan , kategorilerin iskeletine geçme açısından teklikli aksiyomu ifade edip edemeyeceğimi merak ediyorum.${\bf C}={\bf D}$

Aksi takdirde, kimlik türünü, yani sözdizimsel ifadeyi "temelde" bir iskelet (veya izomorphi var) ve ve her ikisi de buna eşdeğerdir. "?${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(Yukarıda, tip teorisini tanımlanması daha kolay kavramlar - kategori teorik kavramları açısından yorumlamaya çalışıyorum. Bunu düşünüyorum, çünkü ahlaki olarak, aksiyomun kasıtlı tip teorisini kodlama ile "düzeltir" eşdeğerlik ilkesi zaten kategori teorik tabloların formülasyonun doğal bir parçasıdır, örneğin aldığını belirten terimlerden yalnızca evrensel özellikler nesneleri.)

Sizi HoTT kitabının 9. Bölümüne yönlendiriyorum. Özellikle bir kategori , izomorfik nesneler eşit olacak şekilde tanımlanır, bkz. Tanım 9.1.6 . As 9.1.15 Örnek noktaları üzerinden, gerçekten hott içinde "skeletality" makul bir kavram yoktur. Bu böyledir çünkü eşitlik o kadar zayıf ki zaten "izomorfik" demektir.

Ayrıca, Teorem 9.4.16 diyor

Teoremi 9.4.16: Eğer ve işlev kategorileri (kimlik funktor ile endüksiyon ile tanımlanır) türlerinin bir muadilidir.$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

Teorem, Univalence Axiom'un bize bir tür cateory teorisyeninin rüyasını verdiğini söyler: eşdeğer kategoriler eşittir.

Univalence aksiyomunu kategorilerle ilgili bir ifadeye indirgeyip indiremeyeceğinizi sorarsınız. İskelet kullanma girişimleri işe yaramaz çünkü “iskelet” demenin iyi bir yolu yoktur. Teorem 9.4.16'nın Univalence aksiyomunu ima edip etmediğini sorabiliriz. Gördüğüm kadarıyla bu böyle olmayacak, çünkü bir kategoride tip (groupoid) nesne ve tip (set) morfizm var, bu yüzden teorem 9.4.16, Sadece 1 tip için univalence aksiyom.$1$$0$