SAT için en iyi geçerli alan alt sınırı?

Bir itibaren ardından önceki soruya ,

SAT için en iyi mevcut alan daha düşük sınırlar nelerdir?

Boşluk alt sınırıyla burada, bir ikili çalışma bandı alfabesi kullanan bir Turing makinesi tarafından kullanılan çalışma bandı hücrelerinin sayısını kastediyorum . Sabit bir ilave terim kaçınılmazdır çünkü bir TM sabit sayıda çalışma bandı hücresini simüle etmek için dahili durumları kullanabilir. Bununla birlikte, genellikle kapalı kalan çarpımsal sabiti kontrol etmekle ilgileniyorum: olağan kurulum daha büyük alfabe üzerinden keyfi sabit sıkıştırmaya izin verir, böylece çarpımsal sabit orada önemli değildir, ancak sabit bir alfabe ile hesaba katılması mümkün olmalıdır.

Örneğin, SAT alan gerektirir; öyleyse, bu boşluk üst sınır, simülasyon ile nolu bir üst zaman sınırına yol açar ve böylece, SAT için uzay-zaman alt sınırının birleştirilmesi, ihlal edilmek (bağlantılı soruya bakınız). Ayrıca SAT en az gerektirdiğini iddia bu tartışmayı geliştirmek mümkün görünmektedir bazı küçük pozitifliği için alan gibi bir şey , bir uzay-sınırlanmış simülasyonunda sabit üs olduğunu Zamana bağlı bir TM tarafından TM. $\log\log n + c$ $n^{1+o(1)}$ $n^{1.801+o(1)}$ $\delta\log n + c$ $\delta$ $0.801/C$ $C$

Ne yazık ki, genellikle oldukça büyüktür (ve TM'nin kasetlerinin ilk önce tek bir kasette daha büyük bir alfabe ile kodlandığı normal simülasyonda kesinlikle en az 2'dir). içeren bu tür sınırlar oldukça zayıftır ve özellikle alanının daha düşük bir alanıyla ilgilenirim . Koşulsuz bir süre alt sınır, basamağı, bazı büyük sabit , böyle bir boşluk alt simülasyonu yoluyla bağlanma anlamına gelir. Bununla birlikte, için zaman alt sınırları şu anda bilinmemektedir, büyük olduğu için tek başına . $C$ $\delta \ll 1$ $\log n + c$ $\Omega(n^d)$ $d > 1$ $\Omega(n^d)$ $d>1$ $d$

Başka bir deyişle, SAT için süper lineer zaman düşük sınırlarının bir sonucu olacak, ancak daha doğrudan elde etmek mümkün olabilecek bir şey arıyorum.

— András Salamon
kaynak

Diğer cevaplarda olduğu gibi (örneğin RW tarafından), zamana veya uzama sınırlarına ayrı ayrı odaklanmanın ayrı ayrı erişilemediği ve yalnızca zayıf / genel olarak bilinen sınırlara sahip olduğu görülmekte ve alandaki önde gelen araştırmalar nispeten daha yeni bir konsepte yol açmaktadır. birleştirilmiş zaman-uzay karmaşıklığı.

— vzn

Yanıtlar:

Bilinen en iyi sınırlara benziyor (multitape Turing makineleri için) logaritmik.

Varsayalım ikili worktape bitleri herhangi karar vermek yeterlidir CNF formülünü bitlik tüm yeterince büyük için, karşılanabilir olduğunu . Standart simülasyon, bir TM tarafından en kullanımları olduğu durumları alan bit en sahip bir TM simüle edilebilir farklı yapılandırmalar . Makine ne zaman kabul ederse, en fazla bu konfigürasyon sayısı kadar olan bir kabul durumuna ulaşan (özgün olmayan) hareketler dizisi vardır. Tüm , bu en az bir (bu not tüm giriş uzunlukları boyunca aynı kalır $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ ). Ayrı bir sayaç şeridinde, bu miktarı ilk önce tek tek yazabilir, daha sonra simülasyonun her aşamasında sayacın sembollerinden birini silebilir ve sayaç sembollerinin tükenmesi durumunda hesaplamayı sonlandırabilir. Bu , üs içindeki terimi tarafından emilen sabit bir ek yük faktörü (3 gibi bir şey) oluşturur . Dolayısıyla adımları yeterlidir. $M$ $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

Varsayalım, , yani zaman-alanı ürünü en fazla . $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

Rahul Santhanam 2001’de gösterdi (bakınız doi: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 ), bir Turing makinesi için SAT’a karar veren uzay-zaman ürününün en az ; argümanı klasik olmayan makinelere de uygulanır. Bu nedenle ve en az ikili çalışma bandının bitleri gereklidir. $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

Daha genel olarak, ek çalışma bantları ve daha büyük bir çalışma bandı alfabesi, üssü sabit bir faktörle değiştirir. Bu sonuçta faktörünü azaltır , ancak alt sınır alanı hala . $\delta$ $\Omega(\log n)$

— András Salamon
kaynak

Belki de bu şekilde SAT için bir boşluk alt sınırını kanıtlayabiliriz (ancak limit / asimptotik analiz konusunda kendimden emin değilim, bu yüzden cevabım tamamen yanlış olabilir). $\log n$

İkili alfabe üzerinden bir salt okunur giriş bant ve bir iş bant, hem bir Turing makinesi modeline her decider, boyutta bir girişi devletler biz buna sahip: $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T (n) \leq c 2^{S (n)} n S (n) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

aksi takdirde Turing makinesi sonsuza dek döngü yapacaktır ( bileşeni, tüm olası şerit yapılandırmalarını temsil eder, bileşeni, giriş bandı kafası konumlarını temsil ederken, bileşeni çalışma bandı kafası konumlarını gösterir). Bir bantta, ikili alfabenin (1) üzerindeki tek başlı TM, . $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

Her iki terimin de ile çarpılması ve genel uzay-zaman değişiminin SAT için uygulanmasının sağlanması: $S(n)$

n^{1.801 + o (1)} \leq S (n) \cdot T (n) \leq c S (n)^{2} 2^{S (n)} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

Bu nedenle , SAT için bir üst sınırın seçilmesi, aslında bir zıtlığa yol açacaktır. $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{c ((\log n)^{1 - ϵ})^{2} 2^{(\log n)^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - (\log n)^{1 - ϵ}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— Marzio De Biasi
kaynak

üst sınırının bir çelişkiye yol açtığını göstermek için en az iki genel yol var gibi görünüyor . Öncelikle, bazı sabit C'ler için (esasen özdeş, fakat biraz çalışmak daha kolay) eşitsizliği kullanarak . Sağladığınız son adım da daha güçlü olabilir, zira çelişki için .

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: bağlı tarafında, kolay iyileştirmeler bekleyemezsiniz: S. Buss ve R. Williams. Zaman-Uzay Alt Sınırları için Alternatif Ticaret Kanıtlarına İlişkin Sınırlamalar, 2012: “Tatmin edilebilirlik problemi için daha iyi zaman-alan alt sınırlarını daha iyi kanıtlamak için yeni tekniklerin kanıtlanması gerektiğini kanıtlıyoruz. SAT ifadesinin zamanında çözülemeyeceğini ve alanını ispatlayamaz. süresi alt sınır, her "için. Herhangi bir fikrin var mı :-)?

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— Marzio De Biasi 22:14

Bunun uzay-zaman sınırlarını kullanabileceği kadarıyla ilgili olduğunu düşünüyorum, çünkü tam olarak Ryan'ın yaklaşımı bu sınırlar kadarıyla.

— András Salamon

SAT örneğini bile saklamak için ve okumak için zamana ihtiyacınız var. Bu ST alt sınırını kanıtlamaz mı ?

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— T ....

@Turbo, SAT'a karar verecek her algoritmanın örneği saklamak zorunda olduğu açık değildir: bir bit deterministik alan alt sınırının .

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$

— András Salamon