HAMILTONIAN CYCLE neden PERMANENT'ten bu kadar farklı?

Bir polinom , eğer = poly ise bir polinom monoton projeksiyonu ve $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ Öyle ki . Kendisine, her değişken değiştirmek mümkündür ve bir değişkenine göre ya da sabit bir ya da , bu sayede elde edilen polinom çakıştığını . $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

Sürekli polinom PER ile Hamiltonian döngüsü polinomu HAM arasındaki farkla (nedenlerin) ilgileniyorum: burada ilk toplamın tüm permütasyonların üzerinde olduğu

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

ve ikincisi sadece tümdöngüselpermütasyonlarınüstünde

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

Soru: Neden HAM PER'de monoton bir projeksiyon değildir ? Yoksa hala öyle mi?

Sadece sezgisel sebeplerden dolayı ispatlar istemiyorum .

Motivasyon: PER'e sınırlandırılmış bilinen en büyük monoton devre (Razborov tarafından kanıtlanmıştır) "sadece" kalır . Diğer taraftan, sonuçları Valiant anlamına burada toplam ile, tüm alt-gruplar üzerinde boyutta $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

. Kendimi "basit, doğrudan" indirgeme formu bu genel sonuçlar elde, ama olamazdıAlon ve Boppana(Tarikatı. 5'de) iddiası zaten

Bu azaltılması için yeterlidir.

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

Fakat bekleyin: CLIQUE'nin büyüklüğünde monoton devreler gerektirdiği iyi bilinmektedir (ilk önce Razborov'un yöntemini kullanarak Alon ve Boppana tarafından kanıtlanmıştır). $2^{n^{\Omega(1)}}$

Yani, HAM PER'nin monoton bir projeksiyonu olsaydı, PER için de daha düşük sahip olurduk . $2^{n^{\Omega(1)}}$

Aslında, neden HAM PER'nin monoton olmayan bir projeksiyonu bile değil ? Boolean semiring içinde, eski olan NP ikincisi iken, -tamamlamak P . Ama neden? Bir permütasyon için döngüsel olmanın bu kadar özel kıldığı yer neresidir ?

PS Açık bir fark olabilir: HAM [n] 'yi sadece bir (uzun) döngü ile kaplar, oysa PER kullanabilir bunun için ayrık döngüleri kullanabilir. Sağlamak: Bu nedenle, HAM için proje zor yönü gibi görünüyor yokluğu bir Hamilton döngüsünün yeni grafikte ayrık döngüleri ile herhangi bir kaplama olmaması anlamına gelir. Bu, HAM'ın PER projeksiyonu olmamasının nedeni midir?

PPS Aslında Valiant daha etkileyici sonucu kanıtlanmıştır: Her polinom ile , katsayıları , p-zaman hesaplanabilir , = poly için HAM bir çıkıntısıdır (algo monoton değilse, mutlaka monoton değildir $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ . PER da ancak karakteristik alanlarında üzerinde, bu özelliğine sahiptir . Yani, bu anlamda, HAM ve PER vardır gf Bruno hatırladı gibi BAŞINA belirleyici döner ve kolaydır, (2) olmayan sürece, gerçekten de "benzer". $\neq 2$

— Stasys
kaynak

Konu hakkında biraz sorum var. PERMANENT’in neden boolean semiring’de P’de olduğunu sorabilir miyim? Böyle bir algoritmanın farkında değilim.

— caozhu

@caozhu: Bunun nedeni PERMANENT'in bool semiringde DETERMINANT ile aynı olmasıdır. Algoritma daha sonra herhangi bir DETERMINANT algoritmasıdır.

— Bruno

@ Bruno: tam değil. Eğer GF (2) alanındaysak haklısın; o zaman Gauss diyebiliriz. Yine de, Boole

yaklaşık büyüklüğü PER devre

kullanılarak inşa edilebilir Hopcroft-Karp algoritması , maksimum karşılaştırma, ya da sadece Floyd-Fulkerson fazla kusur algoritması.

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

— Stasys

Aşağıdakiler, Hamiltonian döngüsü polinomunun kalıcıın polinom büyüklüğünde monoton bir çıkıntısı olmadığı, hiçbir karakteristik sıfır halkası üzerinde bir kanıtdır. Temel fikir, negatif olmayan katsayılara sahip polinomların monoton projeksiyonlarının, birinin Newton polipopunun, bir diğerinin Newton polipopunun genişletilmiş bir formülasyonu olmasına yol açması ve daha sonra son alt sınırları genişletilmiş formülasyonlar üzerinde uygulamasına yol açmasıdır.

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— Joshua Grochow
kaynak

çok hoş bir tartışma. Bu tam olarak aradığım şeydi! Aslında, genişletilmiş LP formülasyonları Valiant'ın projeksiyonlarını simüle eder (en azından monoton).

— Stasys