Sınırlı Treewidth'in Düzlemsel Grafiklerini Numaralandırma

Aşağıdaki sorun için referanslar arıyorum: verilen tamsayılar $n$ ve $k$, izomorfik olmayan tüm düzlemsel grafikleri $n$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$. Hem teorik hem de pratik sonuçlarla ilgileniyorum, ancak kodlamak ve mümkün olan en büyük değerleri çalıştırmak için mümkün olan pratik algoritmalar$n$ ve $k$ (düşünmek $k \leq 5$ ve $n \leq 15$). Zaten bir cevabınız varsa, aşağıdaki tıkırtıları görmezden gelin.

Aşağıdaki yaklaşım izomorfik olmayan tüm grafiklerin numaralandırılması için uygun $n$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$ (yani düzlemsel kısıtlama kaldırıldığında):

(a) İzomorfik olmayan tüm grafikleri $n-1$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$.

(b) Her köşe için $G$ üzerinde $n-1$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$, her klik $C$ üzerinde $\leq k$ köşeler $G$ ve her alt küme $S$ kenarların $C$, Yapmak $G'$ itibaren $G - S$ yeni bir köşe ekleyerek $v$ bitişik $C$. Ekle$G'$ listeye ${\cal L}$ grahs of $n$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$.

(c) Kırpma ${\cal L}$ aynı grafiğin kopyalarını kaldırarak.

Üçgen düzlemsel düzlemsel grafiklerin numaralandırılması için bunu genişletmenin cazip bir yolu $\leq k$düzlemsel olmayan grafikleri her yinelemede filtrelemektir. Maalesef bu, treewidth'in tüm düzlemsel grafiklerini üretemiyor$\leq k$ (örneğin, yalnızca numaralandırıldığından $4$-dejenere grafikler).

Tabii ki tüm grafikleri sıralayabiliriz $n$ köşe noktaları ve trewthth $\leq k$ ve ancak daha sonra düzlemsel olmayanları filtreleyin, ancak bu, çoğu grafiğin düzlemsel olmadığı ve çok düşük optimal göründüğünden yararlanamaz.

Bir yoktur güzel yazılım yardımcı olabilecek eşbiçimlilik göre küçük düzlemsel grafikler üretir. Gördüğüm gibi problemlerden biri izomorfik olmayan düzlemsel grafikler üretmekti ve bu düzlemsel grafiklerin çoğu (15 köşeden az) küçük trewidth.

Ağaç genişliklerinin verilen değerden daha küçük olup olmadığını kontrol etmek için $k$, bir yol, tam olarak algoritmaların pratik olmaması durumunda, bu hesaplamayı hızlandırmak için sezgisel algoritmalar kullanmaktır. örneğin düzlemsel bir grafikte$G$ önce bir çap bulabiliriz $G$ ve ilgili yol $P$ uzunluk $d$(ki bu bir çaptır). Sonra bir tepe noktası bulun$v\in P$ en kısa mesafeye sahip ($l$) başka bir tepe noktasına $u\in G\setminus P$ tüm köşeler arasında $w\in P$. Üçlü$G$ en fazla $d+l$, eğer bu daha küçükse $k$ o zaman başka bir sezgisel algoritma uygulamak veya tam algoritmayı çalıştırmak başka türlü yapılır.

3'ten az bağlı grafik için kesik köşeleri bularak ve sonra bu köşeleri sabitleyerek ve kalan grafiğin ağaç genişliğini bularak buluşsal yöntemler uygulamak da mümkündür. Ancak düğüm sayısı az olduğu için ($15$) grafik $4$bağlı sonra çapı büyük değildir ve bence ilk buluşsal yöntem orada çalışmalıdır. (En fazla 15 köşede 5 bağlantılı düzlemsel grafik olup olmadığını bilmiyorum, ama bildiğimiz gibi$t$için bağlı düzlemsel grafik $t>5$)

Ağaç genişliği için en büyük engel boyutu olarak $k$ belli bir grafiğin üçgen genişliğinin üst sınır değerini tahmin edemeyeceğimiz bilinmemektedir $G$. Ama görünüşe göre en azından düzlemsel grafikler için bu kadar büyük olmamalı (kişi bunun için bir kanıt vermelidir).

Biri tüm çiftleri sıralayabilir $G,B$ nerede $G$ en fazla treidth ile düzlemsel bir grafiktir $k$, $B$ büyüklükte bir çanta $k$ öyle ki bir ağaç ayrışması var ki $G$ ile $B$ bir çanta gibi.

Şimdi her çift için $G,B$ nerede $G$ vardır $n-1$ yeni bir grafik oluşturuyoruz $G'$ her alt küme için $S$ nın-nin $B$ tepe noktası ekleyerek $v$ ile $S$ komşu olarak ve izin ver $B'$ boyut ol $k$ alt kümesi $B \cup v$. Ekle$G',B'$ Eğer $G'$ düzlemseldir ve zaten bulunan herhangi bir çift için izomorfik değildir.

Bir kişinin kaç kayıt saklaması gerektiğine dair kolay bir üst sınır, numaralandırılmış grafik sayısının katını , ancak bu kötümser bir sınırdır. Treewidth k'nin çoğu grafiği için, k boyutundaki çoğu alt kümede torba olamaz, örneğin ızgarasında yalnızca olası torbalar bulunur.$n \choose k$$k \times n$$n \cdot 3^{k-1}$

Bu, düzlemsel olmayan grafikler için algoritmanın yanı sıra performans göstereceğine inanıyorum, çünkü her G, B çifti için B'yi bir klişe yaparak bir grafik alıyoruz, bu grafiklerin çoğu izomorfik olmayacak.

Bunu hızlandırmak için uygulanabilecek birkaç püf noktası var, içine bakmanızı öneririm: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf