Yol genişliğinin ağaç genişliğine göre algoritmik avantajları

Treewidth, FPT algoritmalarında önemli bir rol oynar, çünkü birçok sorun treewidth ile FPT tarafından parametrelendirilir. İlişkili, daha kısıtlı bir kavram, yol genişliğidir. Bir grafiktir pathwidth varsa , aynı zamanda en az treewidth sahip tersi yönde, treewidth ise, sadece en pathwidth ima ve bu sıkı. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

Yukarıdakiler göz önüne alındığında, sınırlı yol genişliğinin grafikleri için önemli bir algoritmik avantaj olabileceği beklenebilir. Bununla birlikte, bir parametre için FPT olan çoğu problemin diğeri için FPT olduğu görülmektedir. Bunun herhangi bir karşı örneğini, yani yol genişliği için "kolay" ancak treewidth için "zor" problemleri bilmek istiyorum.

Bana İgor Razgon tarafından yapılan son kağıt içine çalıştırarak bu soruyu sormak için motive edilmiş söz edelim ( "sınırlı treewidth ait CNFs için OBDDs Üzerine", KR'14) bir bir sorun nedeniyle bir örnek verdi yeniden solüsyon yol genişliği ve treidth olduğunda (kabaca) alt sınırdır . Bu davranışla ilgili başka örnekler olup olmadığını merak ediyorum. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Özet Trewidth tarafından W-hard parametreli, ancak pathwidth ile FPT parametreli doğal sorunların örnekleri var mı? Daha geniş olarak, treewidth yerine yol genişliği ile parametrelendirildiğinde karmaşıklığının çok daha iyi olduğu bilinen / inanılan sorun örnekleri var mı?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Michael Lampis
kaynak

Yollarda kolay, ağaçlarda NP-Hard problemler var. Bunlar arasında minimum çoklu giriş ve maksimum tamsayı çoklu akışı bulunur.

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri Bu iyi bir nokta, ancak bu tür sorunlara yönelik yollar için algoritmalar genellikle yol genişliğine genelleşiyor mu? Örneğin, maksimum tamsayı çoklu akışı için bence durum böyle değildir. Garg, Vazirani ve Yannakakis, "Ağaçlarda integral akış ve çoklu kesme için primal-çift yaklaşım algoritmaları" nda ağaçlar için NP sertliğini kanıtladılar. Buradaki azalma, yükseklikte bir ağaç 3 kullanır. Bu, sorunun sabit yol genişliği için NP-zor olduğu anlamına gelir.

— Michael Lampis

Bu yine orijinal soruya net bir cevap değildir. Yol genişliği k grafiklerindeki akış kesme aralığının, Lee ve Sidiropoulos'un bir sonucu aracılığıyla bazı fonksiyon f için f (k) ile sınırlandırıldığı bilinmektedir. Böyle bir sonucun trewidth için geçerli olup olmadığı önemli bir açık sorundur. K = 3 kasası trewidth için açıktır.

— Chandra Chekuri

Yol genişliği tarafından parametrelenen Hamilton Döngüsü için en iyi algoritmanın çalışma zamanı vardır

(arxiv.org/abs/1211.1506) en iyi trewidth

iken(arxiv.org/abs/1103.0534) Bu muhtemelen kapanmayı bekleyen bir boşluktur.

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— daniello

Yol genişliği ile parametreleştirilen [1] Karışık Çin Postacı Probleminin (MCPP) -hard olduğu, giriş grafiğinin tüm kenarları ve yayları ağırlığına ve treedepth'e göre FPT olsa bile gösterilmiştir. Bu, treewidth ile ilgili olarak sert, ancak treedepth ile ilgili olarak FPT olduğu gösterilen ilk sorun olduğunun farkındadır . Bir grafiğin yol genişliğinin, trewidth ve treedepth arasında olduğunu unutmayın. $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

Sorulan Steiner Multicut problemi, yönlendirilmemiş bir grafik , bir koleksiyon , , Terminal en fazla boyut setinin ve bir tam sayı , orada bir dizi olmadığı en arasında kenarlarının ya da düğümler, her resim grubu az birinde terminallerin çifti farklı bağlı bileşenleri olan . $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

Node Steiner Multicut, Kenar Steiner Multicut ve Restr. Düğüm Steiner Multicut, ve [2] olsa bile, parametresi için -hard'dır . $W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Rupei Xu
kaynak