2-CNF veya 2-SAT ile ifade edilebilir özellikler

Belirli bir özelliğin 2-CNF (2-SAT) cinsinden ifade edilemeyeceği nasıl gösterilir? Çakıl taşı oyunları gibi oyunlar var mı? Görünüşe göre klasik siyah çakıl oyunu ve siyah-beyaz çakıl oyunu bunun için uygun değil (PSPACE tamamlandı, Hertel ve Pitassi, Computing SIAM J, 2010'a göre).

Veya oyun dışındaki teknikler?

Düzenleme : Ben bilinmeyen bir yüklem ( sayım model teorisyenlerin dediği gibi SO yüklemi ) sayma (veya kardinalite) içeren özellikleri düşünüyordum . Örneğin, Klik veya ağırlıksız Eşleştirme'de olduğu gibi. (a) ' Klik : bir klik var verilen grafikte şekilde bazı verilen sayı ? (B) Eşleştirme : eşleşen var de şekilde ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SAT sayabilir mi? Sayma mekanizması var mı? Şüpheli görünüyor.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Sameer Gupta
kaynak

Sonlu model teorisinde Ehrenfeucht-Fraïssé oyunu (FO için) ve Ajtai-Fagin oyunu (monadic SO için) olduğunu anlıyorum. Ama burada yeterli olup olmadıklarından emin değilim. Ayrıca FMT'deki oyunlar sıralı yapılarla karmaşıklaşıyor, değil mi?

— Sameer Gupta

@Marzio, soruyu cevaplayacağınızı belirttiğiniz için 2CNF'de tüm Boolean işlevlerinin ifade edilemediğine dair bir kanıt gibi görünüyor (aslında bundan emin değilsiniz, açık olarak görmeyin). bu kanıt nedir? bir yerde yayınlandı mı?

— vzn

@vzn: 2-CNF'de ifade edilemeyen önemsiz bir boole işlevi:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: yeniden yapılanma sonrasında perhpaslar zorlaşıyor :-); gerçekten de

iki değişkenli maddeleri ile sınırlıdır (SO-Krom) yakalar üzerinde varoluş SO arıtırken NP, yapıları sipariş NL. Açıkçası FO 2-SAT ile sınırlı değildir (ve Ehrenfeucht-Fraïssé oyunu veya kompaktlık teknikleri yeterlidir, çünkü PARİTE FO tanımlanabilir olmadığını kanıtlamak için bunları kullanabilirsiniz).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

tamam.

-SAT'ın

sabitinin tüm boolean fonksiyonlarını ifade edemeyeceğine dair genel bir teori var gibi görünüyor . bu teori nedir? bu soru özel durum

. Not "azaltma" bir kavram yoktur

vasıtasıyla 3-SAT -SAT dönüşümü Tseitin . benzer bir kavram monoton devre alt sınır kanıtlarında (Razborov) ortaya çıktı.

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

Yanıtlar:

Bir bitvektör ailesi, yalnızca medyan özelliğe sahipse ve 2-SAT sorununun çözüm sınıfıdır: bitwise çoğunluk işlevini herhangi bir üç çözüme uygularsanız, başka bir çözüm elde edersiniz. Bakınız örn. Https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability ve referansları. Dolayısıyla, bunun doğru olmadığı üç çözüm bulabilirseniz, bunun 2-CNF'de ifade edilemeyeceğini bilirsiniz.

— David Eppstein
kaynak

David, teşekkürler, bunu arayacak. @vzn - David'in cevabı 2 gün önce sohbet sitesinde yorumladığınız şeyle mi ilgili, tüm bit vektörleri için 3SAT formülleri var ve bit-vektör setleri ile ilgili 2SAT formülleri için bir sonuç mu arıyorsunuz?

— Sameer Gupta

David, Yuval - Kesinlikle aynı değişken setini kullanırsanız kanıtlarınız işe yarayacaktır. Peki ya kullanılan değişkenler kümesi tamamen farklı olabilirse? Martin Seymour'un cevabına bir göz atın: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - K-Clique veya K-Matching'den 2SAT'a eşit tatmin edici bir azalma (tercihen günlük alanı) olmadığını göstermek için farklı bir kanıt gerekir . Düşünceler?

— Sameer Gupta

Yardımcı değişkenler eklemek ve sonra bunları yansıtmak yardımcı olmaz, çünkü medyan özellik artırılmış değişken sistemi için doğruysa, projeksiyonda hala doğrudur.

— David Eppstein

Bunu söylemenin başka bir yolu, medyanın (veya çoğunluğun) 2SAT kısıtlamaları için bir polimorfizm olmasıdır. Aslında, polimorfizm olarak çoğunluğa sahip olan herhangi bir CSP'nin (boolean olmayan bile)

(Dalmau-Krokhin '08) olduğu bilinmektedir.

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

Let bir özellik olması değişkenleri. Bir 2CNF formül var olduğunu varsayalım , öyle ki $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Biz iddia bir 2CNF formüle eşdeğerdir sadece karıştığı . Bunu kanıtlamak için, nasıl ortadan kaldırılacağını göstermek yeterlidir. Yazma

P (x_{1}, ..., x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, ..., x_{n}, y_{1}, ..., y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

burada

değişmezdir ve

içermez.

formülü

ile eşdeğerdir

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

bir birim yan tümcesinde görünmediği iddiasını kanıtlar; eğer yaparsa, doğrudan ortadan kaldırabiliriz.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
kaynak

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Evet, toplama, çarpma ve sayma işlem işlevlerini biliyorum, ancak bunları ilgili sorunlarının karar sürümlerine dönüştürmek kolaydır.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) bu şekilde sayılması için , size (b) 'de tarif yöntem kullanılarak, 2-CNF eşdeğer bir ifade elde etmek mümkün olsa bile, edinmek için bir equisatisfiable 2-CNF ifadesi.

Yani evet, 2-SAT olabilir sayılır.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Martin Seymour
kaynak

Re (c), cevabımı düşünüyorsanız, eşitlenebilir bir 2-CNF ifadesi iyi niyetli eşdeğer bir 2-CNF ifadesine dönüştürülebilir.

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

Cevabımı okuyabilir ve kendiniz görebilirsiniz. Bu durumda zaman / boşluk sınırı olmadığını unutmayın.

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$