“Yılan” yeniden yapılandırma sorunu

Nibbler ve Snake video oyunlarının karmaşıklığı üzerine küçük bir yazı yazarken ; Her ikisinin de düzlemsel grafiklerde yeniden yapılandırma problemleri olarak modellenebileceğini buldum; ve bu tür problemlerin hareket planlama alanında iyi çalışılmamış olması muhtemel görünmemektedir (örneğin, bir bağlantılı araba veya robot zinciri hayal edin). Oyunlar iyi bilinir, ancak bu ilgili yeniden yapılandırma modelinin kısa bir açıklamasıdır:

YILAN SORUNU

Giriş : Verilen bir düzlemsel grafik , l çakıl s 1 , . . . , S l düğümlerde yerleştirilir u 1 , . . . , U l basit yolunu oluşturur. Çakıl taşları yılanı temsil eder ve ilk p 1 başıdır. Kafa mevcut konumundan bitişik bir serbest düğüme hareket ettirilebilir ve vücut onu takip eder. Bazı düğümler nokta ile işaretlenmiştir; kafa noktalı bir düğüme ulaştığında, gövde$G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$ başınaşağıdaki e hareketleriçakıl. Düğüm üzerindeki nokta, yılanın geçişinden sonra silinir.$e$$e$

Sorun : Yılanın grafik boyunca hareket edip edemeyeceğini soruyoruz ve hedef konfigürasyonun yılan pozisyonunun tam açıklaması, yani çakıl taşlarının pozisyonu olduğu bir hedef konfigürasyon ulaşıyoruz .$T$

Nokta kullanılmasa bile SNAKE sorununun maksimum derece 3 düzlemsel grafiklerde ve ayrıca rastgele sayıda nokta kullanabiliyorsak SOLID ızgara grafiklerinde NP-zor olduğunu kanıtlamak kolaydır. Noktasız katı ızgara grafiklerinde işler karmaşıklaşır (başka bir açık problemle ilgilidir).

Sorunun başka bir isim altında incelenip incelenmediğini bilmek istiyorum.
ve özellikle, NP'de olduğuna dair bir kanıt varsa ...

Düzenleme: sorun düzlemsel grafiklerde bile PSPACE-tamamlandı ve sonuç çok ilginç görünüyor, bu yüzden yeni bir sorun olup olmadığını ve bu konuda bilinen sonuçlar olup olmadığını öğrenmek için kalır.

Basit bir örnek (çakıl taşları yeşil renkle gösterilir, yılanın kafası P1'dir).

Bir yılanı bir konumdan diğerine taşımak PSPACE tamamlandı. Yılan önemsiz bir şekilde PSPACE'de. Hearn'in Belirleyici Olmayan Kısıtlama Mantığından PSPACE sertliğinde bir azalma sağlıyoruz.

Belirsiz Kısıtlama Mantığı

$1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

Yılan

Yapımızda, yılanın kafası kuyruğunu küçük bir mesafeden kovalayacak ve aynı döngüyü küçük değişikliklerle tekrarlamak zorunda kalacak. Kısıtlama grafiğinin her bir kenarını, yılanın konumunu kalın çizgilerle gösterdiğimiz şekilde (kırmızı olarak gösterilen kenarlar) şekilde olduğu gibi gömeriz. Bir kenarın iki tarafı (köşeleri) vardır ve yılan, kenarın yönlendirildiği tepe noktasında merkezi rotayı izler.

Bir kenarı tersine çevirmek için, yılan önce merkez rotayı temizler ve daha sonra başı karşı tepe noktasına ulaştığında merkez rotayı alır.

$2$

Son olarak, tüm kenar araçlarının siyah çizgileri tek bir döngü oluşturmak için bağlanır, böylece yılanın başı kuyruğunu kovalar. İki kenar aygıtı arasında, siyah yolu yeterince uzun yaparsak, yılan her zaman siyah yolları aynı döngüsel sırada geçmelidir.

Siyah yolların her zaman düzlemsel bir şekilde oluşturulabileceğini göstermek için, sınırlama grafiğinin kapsayan bir alt ağacı (aşağıdaki şekilde kalın kenarlar) düşünün. Sonra siyah kenarların bu ağacı aşağıda gösterildiği gibi takip etmesini sağlayarak düzlemsel bir grafik oluşturabiliriz.

Yılanın hedef pozisyonu aynı dönüşümle elde edilebilir. Bu nedenle, bir yılanı yeniden yapılandırmak, düzlemsel grafiklerde bile PSPACE tamamlandı.