Kübik grafikleri pençelere ve yollara bölme

Yine karmaşıklığı merak ettiğim bir kenar bölümleme problemi, önceki bir soru ile motive oldu .

Girdi: kübik grafik$G=(V,E)$

Soru: bir bölme vardır içine her biri tarafından uyarılan alt grafiğinin, öyle ki, (yani pençe ya da bir , genellikle bir yıldız olarak da adlandırılır) ya da -Path ( yani )?E 1 , E 2 , … , E s E i K 1 , $E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$P $3$$P_4$

Sanırım bir gün bu sorunun NP-tam olduğu kanıtlanmış bir kağıt gördüm, ancak artık bulamıyorum ve bu sonucun kübik grafiklere uygulanıp uygulanmadığını hatırlamıyorum. İlgili bir konuda, bipartit bir grafiğin pençelere ayrılmasının NP-tamamlanmış olduğunun farkındayım (bkz. Dyer ve Frieze ). Herkes tarif ettiğim sorun ya da ilgili bir şey için referans var mı (yani başka bir grafik sınıfta aynı sorun, daha sonra kübik grafiklere azaltmak için deneyebilirsiniz)?

Bu, sorunun karmaşıklığına bir cevap değildir, ancak en azından karmaşıklığın önemsiz olma şansına sahip olduğunu gösterir: yollara ve pençelere bölünemeyen kübik bir grafiğin bir örneğidir.

_{(kaynak: uci.edu )}

Üç lobunun her birinde, yollara ve pençelere herhangi bir bölüm, yedi kenardan sadece altısını kullanabilir. Kalan altı merkezi kenar, her bir kenar alt bölümlere ayrılmış, yollara ve pençelere bölünemeyen bir pençe şeklini alır.

ETA : Yukarıda gösterilen grafik, mükemmel bir eşleşme olmaksızın kübik bir grafik örneği olarak daha ünlüdür. Ancak mükemmel bir eşleşmeye sahip her kübik grafik, yollara ayrışmaya sahiptir (herhangi bir pençe kullanmadan bile). König'in teoremine göre bu, tüm kübik iki taraflı grafikleri ve Petersen'in teoremine göre, yorumlarda Joseph Malkevitch'in bir sorusuna cevap veren tüm nedensiz kübik grafikleri içerir.

Kanıt çok basittir: M kübik bir grafikte mükemmel bir eşleşme ise, M'nin kaldırılması 2 düzenli bir grafik, yani ayrık bir döngü birliği bırakır. Her bir döngüyü keyfi olarak yönlendirin ve M'nin her bir uv'sini, döngülerinin yönlerinde u ve v'yi izleyen döngü kenarlarına takın.

Diğer yönde, yollarda bir ayrışma varsa, o zaman mükemmel bir eşleşme vardır: her orta yolun orta kenarları bir eşleme olmalıdır, çünkü iki orta kenar hiçbir derece üç köşeyi paylaşamaz.

(Feragatname: bu fikir, Carsten Thomassen'in GD 2010'daki davetli konuşmasında zaten mevcut olabilirdi, bu da bu tür bir grafik ayrıştırma sorunu hakkındaydı.)

(feragatnameye ek olarak (Anthony Labarre tarafından): mükemmel bir eşleşmeden yollara bir bölüme geçmek için "yönlendirme fikri", bu makalede WH Cunningham'a atfedilen Jünger, Reinelt ve Pulleyblank tarafından yer almaktadır .)

Bu diğer kağıdı Dyer ve Frieze tarafından kaçırmışım gibi görünüyor , burada düzlemsel bir bipartit grafiğin kenarlarını kenarlı bağlı bileşenlere herhangi bir sabit için NP tam olduğunu (Teorem 3.1 s. 145). Daha sonra, tüm köşelerde derece veya varsa , için sorunun NP-complete olarak gösterilebileceğini yorumlarlar , bu yanlış şekilde ayrıştırmazsam sorunumu içerir (giriş iki taraflı olduğundan, grafik hiç garip içermez döngü ve özellikle üçgen yok, yani kullanabileceğimiz tek alt çizgi pençeler ve yollardır).k ≥ 3 k = 3 2 $k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

Bu aslında hikayenin sonu değildi: eğer kübik grafik bipartit ise, bipartisyonun bir setini seçip bir dizi "pençe merkezleri" haline getirerek kenar kümesini sadece pençeler kullanarak bölmek kolaydır. Genel sorun gerçekten zor, bu da KÜP PLANAR MONOTONE 1-IN-3 MEMNUNİYETİNİN azaltılmasıyla kanıtlanabilir. Tüm detaylara arxiv üzerinden serbestçe erişilebilir .

Belki de bu yazı ilginizi çekebilir:

Kleinschmidt, Peter Düzenli grafiklerin düzenli bölümleri. Canad. Matematik. Boğa. 21 (1978), no. 2, 177-181.

Uzunluk 3'ün "Z-yolları" birleşimi olarak yazılabilen grafikler ile ilgilenir. (Özellikle düzlemsel, 3-valent, 3-bağlı grafikler-kübik 3-politoplar.)