Yönlendirilmiş Grafiklerin Kapsama Süresi

Bir grafik üzerinde rastgele bir yürüyüş verildiğinde, kapak süresi , her tepe noktasının yürüyüş tarafından vurulduğu (kaplandığı) ilk seferdir (beklenen adım sayısı). Bağlı yönlendirilmemiş grafikler için, kapak süresinin ile üst sınırda olduğu bilinmektedir . Kapak süresi üstel ile bağlı digraphs kuvvetle vardır n . Bunun bir örneği, bir yönlendirilmiş döngüsünün meydana digraph olduğu ( 1 , 2 , . . . , N , 1 ) ve kenarlar ( j , 1 ) köşeler, J $O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$ . Tepe noktasından başlayarak 1 , rastgele yürüme için beklenen zaman tepe ulaşmak için N olan Ω ( 2 N ) . İki sorum var :$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) Polinom kaplama süresine sahip bilinen yönlendirilmiş grafik sınıfları nelerdir? Bu sınıflar, karşılık gelen bitişiklik matrisinin özellikleri ile grafik-teorik özellikler (veya) ile karakterize edilebilir (örneğin ). Örneğin, A simetrik ise grafiğin kapsama süresi polinomdur.$A$$A$

2) Kapsama süresinin üstel olduğu daha basit örnekler (yukarıda belirtilen döngü örneği gibi) var mı?

3) Yarı polinom örtüsüne sahip örnekler var mı?

Bu konuyla ilgili iyi anketlere / kitaplara işaret ettiğim için teşekkür ederim.

Clearly polynomial mixing time implies polynomial cover time. (Well, not in general. We need the stationary probability at least $1/poly(n)$ at each vertex.) So check Mihail's paper Conductance and convergence of Markov chains-a combinatorial treatment of expanders which proves rapid mixing of regular directed graphs and general Markov chains based on conductance.

Also see the paper Pseudorandom walks on regular digraphs and the RL vs. L problem by Reingold, Trevisan, and Vadhan. Following Mihail's work. They defined the parameter $\lambda_\pi(G)$ which is equivalent to $\lambda_2(G)$, the second largest eigenvalue in absolute value, when the graph $G$ is time-reversible, and remains well-defined for general Markov chains. This parameter is then used to bound the mixing time of $G$.

Colin Cooper ve Alan Frieze, ilgi çekici olabilecek rastgele digraflar bağlamında bir takım sonuçlara sahiptir. Rastgele yönlendirilmiş grafik üzerinde basit bir rastgele yürüyüşün özelliklerini inceliyorlar$D_{n,p}$ when $np=d \log n, d>1$. Bunu kanıtladılar:

• İçin $d > 1$, whp kapak süresi $D_{n,p}$ asimptotiktir $d \log (d/(d-1)) n \log n$. If $d=d(n) \rightarrow \infty$ with $n$, the cover time is asymptotic to $n \log n$.

• If $p = d \log n/n$ and $d>1$ then whp $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$.

• Let $d>1$ and let $x$ denote the solution in $(0,1)$ of $x = 1-e^{-dx}$. Let $X_g$ be the giant component of $G_{n,p},p=d/n$. Then whp $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$.

• If $r \geq 3$ is a constant and $G_{n,r}$ denotes a random $r$-regular graph on vertex set $[n]$ with $r \geq 3$ then whp $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$.

• If $m \geq 2$ is a constant and $G_m$ denotes a preferential attachment graph on average degree $2m$ then whp $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$.

• If $k \geq 3$ and $G_{r,k}$ is a random geometric graph in $\mathcal{R}^k$ of ball size $r$ such that the expected degree of a vertex is asymptotic to $d \log n$, then whp $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$.

See Cooper, C., & Frieze, A. Stationary distribution and cover time of random walks on random digraphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. (2011).