Vardiya zincirleri iki renklendirilebilir mi?

İçin göstermektedirler ile en küçük elemanına .$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

İki eleman grubu için, , her bir için ise .$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

Bir düzgün hipergrafiye , herhangi bir hiper köprü için varsa, veya sahipsek bir kaydırma zinciri olarak adlandırılır . (Bir vardiya zincirinde en fazla köprü vardır.)$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

Köşelerini hiçbir renk monokromatik olmayacak şekilde iki renkle renklendirebilirsek bir hipergrafinin iki renkli olduğunu (veya Özellik B'ye sahip olduğunu) söyleriz.${\mathcal H}$

yeterince büyükse , vardiya zincirlerinin iki renkli olduğu doğru mu?$k$

Uyarılar. Bu problemi ilk önce mathoverflow'a gönderdim , ancak kimse yorum yapmadı .

Bazı Kısmi sonuçlar için 1. Emlektabla Atölyesi'nde sorun araştırıldı, kitapçığa bakınız .

Soru, dışbükey şekillerin çevirileri ile düzlemin çoklu kaplamalarının ayrıştırılmasıyla motive edilir, bu alanda birçok açık soru vardır. (Daha fazlası için doktora tezime bakınız .)

İçin önemsiz bir karşı-vardır: (12), (13), (23).$k=2$

Radoslav Fulek tarafından bilgisayar programı ile için çok sihirli bir karşı örnek verilmiştir :$k=3$

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Hipergrafinin iki vardiya zincirinin birleşmesine izin verirsek (aynı sırada), o zaman herhangi bir için bir karşı örnek vardır .$k$

Güncelleştirme. Kısa süre önce vardiya zincirlerinin daha kısıtlı sürümünün bu ön baskıda iki renklendirilebildiğini göstermeyi başardım .

Kalıcı ödül! Her zaman bir çözüm için 500 ödül vermekten mutluyum!

Bu bir cevap değil. Aşağıdaki, k = 3 için yapılan yapının gerçekten bir karşı örnek olduğuna dair basit bir kanıt . Sanırım bu kanıtı bu kanıtı biliyor, ama yine de göndereceğim çünkü kanıtlar güzel ve insanlar daha büyük k durumundayken faydalı olabilir .

Bir vardiya zinciri olduğunu doğrulamak kolaydır. Mülkiyet B'ye sahip olmadığını gösterelim.

Aslında, {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568) altyazı, (569), (789)} zaten bu bkz Bu hypergraph 2-boyama sahip olduğunu varsayalım izin vermek için tatmin İşletme B. başarısız c _ı tepe rengi olması i . Üç köprüye bakın (145), (245), (345). Eğer c ₄ = C ₅ , tüm 1, 2 ve 3 ters renk olmalıdır c ₄ , ancak bu bir monokromatik hyperedge (123) elde olacaktır. Bu nedenle, c ₄ ≠ c ₅ olması gerekir . Benzer şekilde,

• c ₃ ≠ C ₄ üç hyperedges (345), (346), (347) karşılaştırılması ve bir hyperedge (567) fark ile.
• c ₆ ≠ c ₇ , üç köprüyü (367), (467), (567) karşılaştırarak ve bir köprüyü (345) fark ederek.
• c ₅ ≠ c ₆ üç hyperedges (567), (568), (569) karşılaştırılması ve bir hyperedge (789) fark ile.

Bu nedenle, c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c _{7 değerlerine} sahibiz . Ancak bunun anlamı c ₃ = c ₅ = C _{, 7} hyperedge (357) tek renkli hale. Bu, 2 renklendirmenin varsayımına aykırıdır.

Belki bir şeyleri özlüyorum ama olasılıklı yöntemle sınırlı bir bağ olduğunu düşünüyorum:

Eğer olasılık ile indepedently her köşe renklendirmek ise sonra her renk için senin olasılık ile tek renkli kenar var 2 ⋅ ( $1/2$. İleLovasz yerel lemmasınınEğer vardiya zincirli özellik olduğunu olsunBise k(n-k)+1≤2 k - $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$ Bu eşitsizliği doğrudan çözemiyorum, fakat eğerk=Ω(log(n))varsa, sol tarafanlog(n)gibi bir şeyve sağ tarafanc( eşitsizlikniçinyeterince büyüktür).

Bir Orada daha iyi bağlanmış bir $O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$