Kuantum matris çarpımı?

Bilindiği gibi görünmüyor - ama kuantum hesaplama modelinde matris çarpımının karmaşıklığı ile ilgili ilginç daha düşük sınırlar var mı? Kuantum bilgisayarları kullanarak Coppersmith-Winograd algoritmasının karmaşıklığını yenebileceğimiz konusunda bir fikrimiz var mı?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Henry Yuen
kaynak

Yanıtlar:

In arXiv: Quant-ph / 0409035v2 Buhrman ve Spalek çıkış matrisi birkaç sıfırdan farklı girişler var durumlarda Bakırcı-Winograd algoritmasını yenerek bir kuantum algoritması sunduk.

Güncelleme: Ayrıca Dörn ve Thierauf tarafından geliştirilmiş bir kuantum algoritması var .

Güncelleme: Le Gall'in genel olarak Burhman ve Spalek'i yenmesiyle geliştirilmiş bir kuantum algoritması var .

— Martin Schwarz
kaynak

Bu benim için yeniydi (kuantum sonuçları hakkında çok az şey biliyorum), fakat kağıda bakarak, sonuç daha da şaşırtıcıydı! İçin ise matris çarpımı, orada çıkış girişleri, sıfır olmayan, ürün olarak hesaplanabilir alt karesel zaman, .

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

Özel Boolean matris ürünü için küçük bir gelişme var, min { } vardır çıkış nonzeroes. (FOCS'10 makalemizde “Yol, Matris ve Üçgen Problemleri Arasında Subkubik Denklemler” yazdı.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

Boolean matris ürünü durumunda a yapılan son bir gelişme , aynı zamanda daha düşük sınırlarla eşleşen arxiv.org/abs/1112.5855'tir .

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Abel Molina

İki matrisi çarparak ve tam klasik sonucu geri almakla ilgileniyorsanız, o zaman Martin'in cevabı muhtemelen sorunuza kesin bir cevaptır. Ancak, gibi bir şey hesaplamak istiyorsanız, o zaman bunu son derece verimli bir şekilde yapabilirsiniz. Harrow, Hassidim ve Lloyd, seyrek matrisler için matrisinin boyutlarında sadece logaritmik olan hesaplamak için bir algoritmaya ( arXiv: 0811.3171 ) sahiptir . Bu yaklaşımı tersine çevirmek yerine ürünleri hesaplamak için uyarlamak nispeten kolay gözüküyor. $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
kaynak

Bu durumda, çalışma zamanı hala matrislerin koşul sayısına bağlı olacaktır ve matrislerin karmaşık girdilere sahip olması gerekir. Ayrıca, eğer X ve Y , ürünleri de ve , rastgele örnekleme kullanarak aynı üstel hızlanma ile klasik olarak tahmin edilebilir.

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram,

@Aram: İyi nokta! Algoritmanızın seyrek matrisler için işe yaradığını biliyorum, ancak bazı seyrek olmayan matrislerde de çalışabileceği izlenimi altındaydım. Bu doğru mu?

— Joe Fitzsimons

Evet, bu Hamiltonyalıları simüle etmenin iyi yollarını bildiğimizde, seyrek olmayan matrisler için işe yarar. Belki de burada önemsiz bir şey mümkündür.

— Aram Harrow,

@Aram: Kullandığın kodlamayla, QF üzerinden tüm seyrek matrislerin Fourier dönüşümünü almıyor muyuz?

— Joe Fitzsimons

@Joe: Daha yeni farkettim. Evet, bu matrisler (momentum bazında seyrek olarak düşünebilirsiniz) da kullanılabilir. Bu bizim algoritmamıza özgü bir şey değil. Aksine bu kuantum bilgisayarda nasıl simüle edileceğini bildiğimiz Hamiltonianların sınıfı hakkında bir ifadedir.

— Aram Harrow,