Düzlemsel grafiklerde üçgen sayımının zaman karmaşıklığı

16

Genel grafiklerdeki üçgenleri saymak zamanında önemsiz bir şekilde yapılabilir ve daha hızlı yapmanın zor olduğunu düşünüyorum (referanslar hoş geldiniz). Düzlemsel grafikler ne olacak? Aşağıdaki basit prosedür, zamanında yapılabileceğini göstermektedir. Sorum iki katlıdır: $O(n^3)$ $O(n\log{n})$

Bu prosedür için referans nedir?
Zaman doğrusal hale getirilebilir mi?

Lipton-Tarjan'ın düzlemsel ayırıcı teoreminin algoritmik kanıtından, zaman içinde grafiğin boyutunda lineer olarak, grafiğin köşe noktalarını üç set ayırabiliriz, böylece bir uç noktası olan kenarlar olmaz ve diğeri $A,B,S$ $A$ $B$ , , $S$ ve ikisi de $O(\sqrt{n})$ sınırlandırılmış boyutlara sahiptir $A,B$ Köşe sayısı . Grafikteki herhangi bir üçgenin ya tamameniçindeya da tamameniçindeya daen az bir tepenoktasınıya da her ikiheriki köşe ile kullandığına dikkat edin. Bu nedenle, ilgili grafik üçgenler sayısını saymak için yeterlive komşuolarak(ve benzer şekilde, için). Bildirim buve-neighbours geçırılen bir-Dış düzlemsel bir grafiktir (grafik çapında bir düzlemsel grafik bir alt grafiğinin bahsedilen $\frac{2}{3}$ $A$ $B$ $S$ $A \cup S$ $B \cup S$ $S$ $S$ $A$ $B$ $S$ $A$ $k$ $4$ ). Böylece, böyle bir grafikteki üçgenlerin sayımı doğrudan dinamik programlama veya Courcelle teoreminin bir uygulamasıyla yapılabilir (Elberfeld ve arkadaşları tarafından Logspace dünyasında böyle bir sayım versiyonunun var olduğundan eminim ve ayrıca var olduğunu tahmin ediyorum) bir yönsüz bir üçgen oluşturan bir yana) doğrusal zamanda dünyanın özelliği ve yana sınırlı bir genişlik ağaç ayrışma gömülü dan elde etmek kolaydır -Dış düzlemsel grafiktir. $\mathsf{MSO}_1$ $k$

Böylece problemi, her biri doğrusal bir zaman prosedürü pahasına sabit bir fraksiyondan daha küçük olan bir çift probleme indirdik.

Prosedürün zamanında bir girdi grafiğinde sabit bağlı herhangi bir grafiğin örnek sayısını bulmak için genişletilebileceğine dikkat edin . $O(n\log{n})$

reference-request graph-algorithms planar-graphs

— Samid
kaynak

6

Bu komşuluk matrisi de genel grafikler üçgenler sayabilir

ve bilgisayar

. Bu alan

zaman,

matris çarpım üssüdür.

A

$A$

t r (A^{3}) / 6

$tr(A^3)/6$

n^{ω}

$n^{\omega}$

ω < 2.373

$\omega < 2.373$

— Ryan Williams

@RyanWilliams Elbette haklısın! Soruyu güncelleyeceğim.

— SamiD

20

Düzlemsel bir grafik G'deki herhangi bir sabit alt H noktasının oluşum sayısı, H bağlantısı kesilmiş olsa bile O (n) süresinde sayılabilir. Bu ve ilgili birkaç sonuç, 1999 tarihli David Eppstein tarafından Düzlemsel Grafikler ve İlgili Sorunlar Alt İzomorfizması belgesinde anlatılmıştır ; bkz. Teorem 1. Bu makalede gerçekten de üçlü genişlik teknikleri kullanılmaktadır.

— Bart Jansen
kaynak

19

Her ne kadar Bart Jansen'in cevabı genel alt-sayım vakasını çözse de, düzlemsel bir grafikteki tüm üçgenleri (veya daha genel olarak herhangi bir sınırlanmış arborisite grafiğini) sayma (veya listeleme) sorununun çok daha uzun süredir doğrusal olduğu bilinmektedir. Görmek

C. Papadimitriou ve M. Yannakakis, Düzlemsel grafikler için sıklık problemi, Inform. Proc. Mektuplar 13 (1981), sayfa 131-133.

ve

N. Chiba ve T.Nishizeki, Arboricity ve alt çizgi listeleme algoritmaları, SIAM J. Comput. 14 (1985), sayfa 210-223.

— David Eppstein
kaynak