Aşağıdaki doğrudan toplam özelliğine sahip işlevler olduğu biliniyor mu?

Bu soru, Boole devrelerinin devre karmaşıklığı çerçevesinde veya cebirsel karmaşıklık teorisi çerçevesinde veya muhtemelen birçok başka ortamda sorulabilir. Argümanları sayarak, N girişlerinde üstel olarak çok sayıda kapı gerektiren Boole işlevleri olduğunu göstermek kolaydır (tabii ki açık örneklere sahip değiliz). Aynı fonksiyonu M kez, bazı tamsayı M için, M farklı girdi kümelerinde değerlendirmek istediğimi varsayalım ki toplam girdi sayısı MN olur. Olduğunu, sadece değerlendirmek istediğiniz ile aynı fonksiyon için f her defasında.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Soru şudur: herhangi bir N için, herhangi bir M için gereken toplam kapı sayısının en az M katına eşit bir fonksiyonun olduğu bir dizi (her bir N için bir fonksiyon) olduğu bilinmektedir . N? Basit sayım argümanı işe yaramaz gibi görünüyor, çünkü bu sonucun tüm M için geçerli olmasını istiyoruz. Cebirsel karmaşıklık teorisi ve diğer alanlarda bu sorunun basit analogları ortaya çıkabilir.$f$

Bu yanlış: HERHANGİ f'nin M kopyalarını sadece M * exp (N) 'den çok daha az olabilen O (N (M + 2 ^ N)) kapıları kullanarak değerlendirmek mümkündür (aslında, doğrusal amortismana tabi tutulursunuz) üstel M için karmaşıklık). Bir referans hatırlamıyorum, ancak bunun aşağıdaki gibi bir şey yapabileceğini düşünüyorum:

Önce sadece 0 ... 2 ^ N-1 sabitleri olan 2 ^ N hayali giriş ekleyin ve şimdi xi ile i'inci N-bit girişini belirtin (bu yüzden i <= 2 ^ N için xi = i var ve 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M orijinal girişlerimiz var). Şimdi M + 2 ^ N girişlerinin her biri için bir üçüz oluşturuyoruz: (i, xi, fi) burada ilk 2 ^ N girişleri için fi (f) i (devrenin içine kabloyla bağlanmış bir sabit) ve fi = "*" aksi takdirde. Şimdi üçüzleri (i, xi, fi) xi anahtarına göre sıralıyoruz ve j 'üçlüsünün (i_j, x_j, f_j) olmasına izin vererek, bir üçlüyü (i_j, x_j, g_j) f_j "*" değilse f_j ve aksi takdirde g_j'nin g_ (j-1) olmasına izin verin. Şimdi yeni üçüzleri i_j anahtarına göre sıralayın ve doğru yerlerden doğru cevapları aldınız.

Aradığınız doğrudan toplam fenomeni için olasılıkları daha da kısıtlayan başka bir sonuç daha var. Shannon'un iyi bilinen bir erken sonucu (Lupanov tarafından sıkılmıştır), tüm Boolean fonksiyonlarının boyutundaki devrelerle ( 2 n / n ) hesaplandığını ve Shannon'un sayım argümanıyla bunun rastgele fonksiyonlar için sıkı olduğunu gösterdi. Bir en azından orta değerleri için, bu düşünebilir m , işlem devresi karmaşıklığı m rastgele örneklerini f olarak büyütülebilir olur$O(2^n/n)$$m$$m$$f$ . Ancak Dietmar Uhlig$m 2^n/n$

"Birden çok giriş değeri için Boole işlevlerini hesaplayan ağlar"

bu yanlıştır: olduğu sürece , herhangi bir f'nin m örneklerini O ( 2 n / n ) büyüklüğünde bir devre ile hesaplayabilir - esasen m = 1 ile aynı maliyet !$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Çevrimiçi olarak kapısız bir kopya veya yazar için bir ana sayfa bulamıyorum, ancak bu işlemde makaleyle karşılaştım:

Boole İşlev Karmaşıklığı (Londra Matematik Derneği Ders Notu Serisi)

Cebirsel karmaşıklık ile ilgili olarak, üstel karmaşıklığın alt-üstel amortisman karmaşıklığına düştüğü bir örnek bilmiyorum, ama en azından M ayrık kopyaların karmaşıklığının tek bir kopyanın karmaşıklığının M katından önemli ölçüde daha az olabileceğine dair basit bir örnek var. :

"Rastgele" n * n matris A için, A tarafından tanımlanan çift doğrusal formun karmaşıklığı (f_A (x, y) = xAy işlevi, burada x ve y, n uzunluğunda 2 vektördür) Omega'dır (n ^ 2) ) - bu, sabitleri koymak için devrede n ^ 2 "yere" ihtiyacınız olduğundan "sayım benzeri" boyut bağımsız değişkeni ile gösterilebilir. Bununla birlikte, n farklı vektör çifti (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n) verildiğinde, x'leri bir n * n matris X'in satırlarına ve benzer şekilde y'lerin Y matrisinin sütunlarına yerleştirin ve ardından tüm cevapları x ^ iAy ^ i, XAY diyagonalinden okuyun; burada, n ^ n'den önemli ölçüde daha az olan hızlı matris çarpımı kullanılarak n ^ 2.3 (veya benzeri) işlemlerde hesaplanır. ^ 2.

Bu, esasen tartışılan şeyleri gösteren Wolfgang Paul tarafından incelenmiş ve çözülmüştür.