Kesikli problemlerin NP zorluğu olduğu ve sürekli problemlerin olmadığı bir kural mıdır?

27

Bilgisayar bilimi eğitimimde, ayrık problemlerin çoğunun NP tamamlandı (en azından) olduğunu, sürekli problemlerin optimize edilmesinin genellikle degrade teknikleriyle neredeyse her zaman kolayca elde edilebildiğini fark ettim. Bunun istisnaları var mı?

cc.complexity-theory co.combinatorics optimization

— alekdimi
kaynak

14

Elbette, çoğu var. Bipartit ve genel eşleşme ve min kesikler üç klasik polinom zamanla çözülebilir ayrık problemlerdir. Birçok sürekli dışbükey olmayan optimizasyon problemi NP-zordur: dışbükey bir kümenin çapını bulmak veya 3-densörün enjektif normunu hesaplamak.

— Sasho Nikolov

6

İşte çözülmesi zor olan basit ve basit bir optimizasyon problemi: cstheory.stackexchange.com/questions/14630/…

— Jukka Suomela 07:15 '

8

Aklınızdaki sorunlardan emin değilim, ancak gradyan yöntemleriyle “çözülen” birçok sürekli sorun gerçekten “çözülmedi”: yöntem yalnızca bir tür yerel optimum buluyor.

— Suresh Venkat

1

Şimdiye kadarki cevapların hepsi karşı örnek gibi görünüyor, ancak bu kuralın geçerli olduğu bazı durumlarda görmek güzel olurdu. Akla gelen iki tane doğrusal programlama - tamsayılı programlama ve dışbükey optimizasyon - alt modüler maksimizasyon.

— usul

13

Devamlı vs sürekli olan şey kırmızı bir ringa balığı olduğunu düşünüyorum. Bir problemin etkin bir şekilde çözülebilir olması için çok özel bir yapıya sahip olması gerekir. Bence buradaki asıl fark, kolay sürekli problemler söz konusu olduğunda, özel yapının dışbükey olma eğilimindeyken, kolay ayrık problemler durumunda, durumların daha karmaşık göründüğünü düşünüyorum: bazen yapı, alt modülerlik veya matroid kesişimidir, ancak çoğu zaman değildir. Bunun muhtemelen ayrık matematiği çok iyi anlamadığımız gerçeğiyle ilgisi var.

— Sasho Nikolov

41

Hiç! Tat verilen sorun olduğunu bir örnek :, karar $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}$

\int_{- π}^{π} \cos (a_{1} z) \cos (a_{2} z) \dots \cos (a_{n} z) d z \neq 0

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(a_1 z) \cos(a_2 z) \ldots \cos(a_n z) \, dz \ne 0$

İlk başta bu ancak setin dengeli bir bölüm vardır IFF bu ayrılmaz sıfır olmadığını göstermek kolaydır, bu integrali değerlendirmek için sürekli bir sorun gibi görünüyor Bu ayrılmaz sorun aslında bu yüzden, NP-tam. $\{a_1, \ldots, a_n\}$

Tabii ki, bu entegrali değerlendirmek için çoğu (tümü değilse) sayısal hilelerin yeterince büyüdüğünde başarısızlığa mahkum olduğuna inanmak için bazı sayısal araçlarla uğraşmaya teşvik ediyorum . $n$

— Joe Bebel
kaynak

4

Konuya geldiğimizden beri, bulabildiğim bu soruna en erken gönderme, Moore ve Mertens tarafından "Hesaplamanın Doğası" nda. Referans vermiyorlar, ya da onu icat ettiklerini ya da folklordan geldiğini farz ediyorum. Birisi bu sorunun kaynağını biliyorsa sevinirim.

— Joe Bebel,

Muhtemelen sadece çoğunun değil, tüm sayısal tekniklerin de yeterince büyük

için felaketle sonuçlanacağı ? Problem NP tamamlanmış olduğundan,

cinsinden polinom olarak ölçeklendirilen integralin P = NP olarak gösterilmesi için yeterli bir sayısal teknik yeterli olacaktır.

n

$n$

n

$n$

— EP

1

Doğru,

zaman polinomundaki integralleri her zaman doğru olarak değerlendiren bir algoritma P = NP'yi göstermek için yeterli olacaktır. Öte yandan,% 100 büyük olasılıkla SAT çözücülerinin sık sık yapabildiği gibi

büyük olduğu durumlarda bile, bu integralin belirli örneklerinde iyi performans gösterdiğini bilmediğim belli sayısal tekniklerin olasılığını% 100 ekleyemiyorum. En kötü durum performansı kötü olsa bile, binlerce değişkenli bazı formüller için tatmin edici ödevler bulmak. Bu nedenle, bu tür yöntemlerin varlığından şüphe etsem bile, cevabımı biraz korumalıyorum.

n

$n$

n

$n$

— Joe Bebel

3

Görünüşe göre bu sorunun asıl kaynağı şudur: David Plaisted, Bazı polinom ve tamsayılı bölünebilirlik problemleri NP zordur. SIAM Bilişim Dergisi, 7 (4): 458–464, 1978. Referans, metnin kendisinde değil, Moore ve Mertens'in arkasındadır.

— Joe Bebel

26

"Bu birleşimsel girişin geometrik bir yapı olarak gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini test etme" formunun birçok sürekli problemi vardır , reallerin varoluşsal teorisi için tamamlandı , sürekli bir NP analogu. Özellikle, bu, bu problemlerin polinom olarak çözülebilir olmaktan ziyade NP-zor olduğu anlamına gelir. Örnekler, belirli bir grafiğin bir birim mesafe grafiği olup olmadığını, belirli bir grafiğin düz çizgi segment kenarları olan düzlemde çizilip çizilemeyeceği ve en fazla belirli sayıda geçişin çizilip çizilemeyeceğini veya verilen bir psödolin düzenlemesinin bir çizgi oluşturmak için gerilip gerilemeyeceğini test etmeyi içerir. aranjman.

Daha da zor olan başka sürekli problemler var: örneğin, 3B'deki çokyüzlü engeller arasında en kısa yolu bulmak PSPACE-complete'dir (Canny & Reif, FOCS'87).

— David Eppstein
kaynak

1

'Çokyüzlü engeller arasındaki en kısa yol' sadece ismiyle süreklidir, değil mi? Konfigürasyon alanını, belirli bir dizi engeli kucaklayan patikalara karşılık gelen birkaç ayrı parçanın birleşimi olarak düşünebiliriz; daha sonra verilen her bir parçadaki (yani, belirli bir dizi engelin içinde) yerel optimizasyon basittir ancak yollardan hangisinin global olarak en iyi mesafeye sahip olduğuna karar vermek sorunun zor kısmıdır.

— Steven Stadnicki

13

Bu, asıl sorunuza tam olarak cevap vermese de, bir tür felsefi bakış açısına (varsayımsal) bir örnek: sunumun ayrık olduğu ancak tüm sertliğin sorunun 'sürekli' yönünden geldiği bir sorun.

$A=\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$ $B=\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ $\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i}\leq\sum_{j=1}^n\sqrt{b_j}$ zor, NP zor olabileceğinden ve aslında NP dışında olabileceğinden şüphe duyulur (yorumlarda da belirtildiği gibi, NP'nin tamamlanmadığına inanmak için mükemmel sebepler vardır); Bugüne kadar bilinen tek sınırlama, polinom hiyerarşisinde birkaç seviye daha yüksektir. Açıkçası, bu sorunun sunumu olabildiğince farklıdır - bir tam sayı kümesi ve bunlar hakkında evet / hayır sorusu - ancak zorluk ortaya çıkar, çünkü herhangi bir kesinliğe karekökleri hesaplarken kolay bir problemdir, hesaplanmaları gerekebilir. eşitsizliği bir şekilde çözebilmek için yüksek (potansiyel olarak süper-polinom) doğruluk. Bu, şaşırtıcı sayıda optimizasyon bağlamında ortaya çıkan ve kendi karmaşıklıklarına katkıda bulunan 'ayrık' bir sorundur.

— Steven Stadnicki
kaynak

4

Bu örneği de çok beğendim, ancak NP-tamamlanmadığına inanmak için güçlü nedenlerin olduğunu belirtmeye değer; bkz. ( cstheory.stackexchange.com/a/4010/8985 )

— Joe Bebel

@JoeBebel Çok iyi nokta - Dilimi biraz yansıtacak şekilde revize ettim. Teşekkür ederim!

— Steven Stadnicki

6

Kesikli problemler tipik olarak daha zor olma eğilimindedir (örneğin LP ve ILP), ancak problemin kendine özgü olması kendisi değil ... kısıtlamaların etki alanınızı nasıl arayabileceğinizi nasıl etkilediğidir. Örneğin, bir polinomu optimize etmenin verimli bir şekilde yapabileceğiniz bir şey olduğunu düşünebilirsiniz, ancak etmenin kuartiklerin (derece-4 polinomlarının) taşınımının NP-sert olduğuna karar verebilirsiniz .

Bu, zaten bir şekilde optimum olsa bile, sadece optimumda olduğunuzu kanıtlamak zaten NP-zor olduğunu gösterir.

— Mehrdad
kaynak

Bence adaletsizlik de sorunun bir parçası. Örneğin, ILP’nizin LP’de bir kredisine sahip olacağınızı Örneğin, LP varyantı için çözümü bulmayı hedefleyebilirsiniz, ancak daha sonra aramanız gereken 2^n" ilginç komşular " hala var .

— Willem Van Onsem

@CommuSoft: Gerçekten değil ... takdirsizlik mesele değil. Check kısa yol sorunu ayrı bir problemdir fakat yine de bir özel durumda azaltır, yekpare lineer programlama ile (karıştırılmamalıdır çözülebilir P zamanlı, programlama doğrusal tamsayı açıkça sert NP).

— Mehrdad,

bu gerçekten bir sürpriz değil: tamsayılı doğrusal programlama NP-tamamlanmış olduğundan, P'deki (poli zamanlarında çözülebilen) her problem, ILP probleminde çoklu zamana dönüştürülebilir.

— Willem Van Onsem

@CommuSoft: Yorumu tamamen okudunuz mu? ILP'den bahsetmiyorum.

— Mehrdad,

üzgünüm, hızlı okumak için. Ama yine de bu, kısıtlamaların tamamen modüler olmadığından , bu yüzden sadece iyi yapılandırılmış kısıtlamaların “lütfuyla”, bu tür problemlerin çözülmesi kolaydır. Genel olarak ayrıklaştırma, sorunlarda sorunlu bir unsurdur.

— Willem Van Onsem

5

Olmasına rağmen bazı popüler problemler doğru olsa da, her iki varsayımın da - optimizasyon problemi olarak tanımladığınız şeye bağlı olarak - doğru olmadığını düşünüyorum.

İlk olarak bazı tanımlar: optimizasyon problemlerinin çoğu NP'nin bir parçası değildir . Örneğin Sırt Çantası problemi için : en belirsiz olmayan branşların paylaşılan hafızası olmadığı için, en değerli çantayı inşa etmek için deterministizmden yararlanılamaz. NP , aynı zamanda "polinomal olarak doğrulanabilir" (bir sertifikayı doğrulama) olarak tanımlanır [1, p. 34]. Bu durumda sertifika örneği için bir olan torba : eğer bir Bit dizisi i -inci bit ayarlanır, bu ima i -inci madde torbanın parçasıdır. Polenomal zamanın gerçekten böyle bir torbanın belirli bir eşikten daha değerli olup olmadığını kontrol edebilirsiniz (bu karar değişkenidir).) ama, bildiğimiz kadarıyla tek bir çantaya (polinomlu bir çanta sayısı) dayanarak, bu çantanın olası tüm torbaların en değerli olup olmadığına karar veremezsiniz. Bu, örneğin NP ve EXP arasındaki hayati bir farktır : EXP'de , olası tüm çantaların üzerinde numaralandırma yapabilir ve hangi çantanın en iyisi olduğuna dair defter tutma yapabilirsiniz.

Karar varyant optimizasyon problemlerinin bazı durumlarda kısmındadır NP , tek arasında net bir ayrım yapmalıdır maksimizasyonu lezzet ve karar lezzet . Karar lezzetinde soru şudur: " Bir optimizasyon problemi verildiğinde ve bir yardımcı program bağlıysa, o sınırlamadan büyük veya ona eşit bir yardımcı programa sahip bir çözüm var " (veya bir simge durumuna küçültme problemi için hafifçe değiştirilmiş).

Ayrıca NP ile P'nin bir parçası olmayan NP'nin (varsayımsal) kısmını kastediyorsunuz . Eğer P = NP ise, elbette NP-tamam hala var, ancak P'ye eşit olacaktır (polinomik zamanlar @ AndrásSalamon'un bir-birinden indirimleri gibi) sadece P ile aynı olacaktır , bu etkileyici değildir ( ve sorunuzda belirttiğiniz " boşluğu " azaltacaktır ).

Ayrık problemlerin çoğunun NP tamamlandı olduğunu fark ettim.

Şimdi bunu çözdük : P : en kısa yol problemi , maksimum akış problemi (integral kapasiteler için), minimum yayılma ağacı ve maksimum eşleşme gibi birçok optimizasyon problemi var . Bu sorunlar size "çözmek için önemsiz gibi görünmekle birlikte, yine de optimizasyon sorunlarıdır ve çoğu durumda inşaat (ve doğruluğu kanıtlamak) o kadar kolay değildir. Yani iddia bütün ayrık problemleri tutmuyor, NP tamamlandı. P'nin NP'ye eşit olmadığı göz önüne alındığında , bu problemler NP tamamlayamaz .

$\Sigma^P_i$

Sürekli problemleri optimize etmek neredeyse her zaman kolayca başarılabilir.

A popüler sürekli sorun NP-zor olduğunu kuadratik programlama .

$\vec{x}$

\frac{{\vec{x}}^{T} \cdot S \cdot \vec{x}}{2} + {\vec{c}}^{T} \cdot \vec{x}

$\dfrac{\vec{x}^T\cdot Q\cdot\vec{x}}{2}+\vec{c}^T\cdot\vec{x}$ tatmin edici şekilde en aza indirilir:

bir \cdot \vec{x} \leq \vec{b}

$A\cdot\vec{x}\leq\vec{b}$

Aslında Doğrusal programlama uzun zamandır NP-zor olarak kabul edilir , ancak çok iyi performans gösteren sezgisel taramalarla ( Simplex yöntemi). Karmarkar'ın algoritması ise P'de .

Optimizasyon sorunu dışbükey olmayan nesnelerle ilgilendiği andan itibaren, genel olarak verimli bir algoritma bulmak zor - imkansız değilse de - zor olacaktır.

Kaynakça

[1] Hesaplamalı Karmaşıklık, modern bir yaklaşım , Sanjeev Arora ve Boaz Barak

— Willem Van Onsem
kaynak

2

Tanımlar paragrafı gerçekten biraz karışık. Sırt çantası bir NP optimizasyon problemidir. Optimizasyon sürümü NP’de ise “bilinmemektedir” doğru değildir: sadece tanım gereği değildir. Ayrıca, NP üzerinde koşullu olan ve NP'de koşullu olan PIe 3-SAT'ye eşit olmayan herhangi bir sorunun P = NP (aslında P = NP ise P'nin tamamının NP olması halinde) bile NP tamamlanacağını bilmediğimizi sanmıyorum.

— Sasho Nikolov

@ AndrásSalamon: alınan nokta. O kısmı çıkardım. Gerçekten biraz özensizdi.

— Willem Van Onsem

@ AndrásSalamon: Açıkçası bu doğru. Bu nedenle şöyle der: “ Verilen P,

— NP'ye

@ AndrásSalamon: Evet ise P=NP, her bir sorun NP-tam tanımı parçası olan NP ve şekilde muhafaza ile P , hemen P bir polinom algoritma var olduğu anlamına gelir. Demek istediğim dönüşümü nedeniyle her dil için, önemli değil bence, olan P bir polinom algoritma bulunmalıdır orada. (En çok polinom) dönüşümünü alsanız da almasanız da önemli değildir. Böylece de, polinom kalır P . Başka bir deyişle, orijinal öğe P'de olduğundan , her çoklu zaman dönüşümünü ücretsiz olarak alabilirsiniz (bir higer karmaşıklığı sınıfında sonuçlanmaz).

— Willem Van Onsem

2

Bir optimizasyon problemi olarak sırt çantası kesinlikle NP tamamlanmadı, çünkü bu bir karar problemi değil, NP'de değil. Her durumda, ne dediğinizi anlıyorum, ancak bu bir açıklama görmeyi beklemiyormuşum gibi CStheory @ SE gibi bir araştırma seviyesi forumunda verilmesi gerektiğini düşünüyorum. Olasılıkta yakınsaklığın Mathoverflow'taki neredeyse kesin yakınsaklıkla aynı olmadığı hakkında.

— Sasho Nikolov