Bu örtme probleminin karmaşıklığı biliniyor mu?

İzin Vermek $G=(V,E)$ grafik olmak. Bir tepe noktası seti $X\subseteq V$ eğer kritik olarak adlandırılırsa $X\neq\emptyset$ ve tepe noktası yok $V\setminus X$ tam olarak bir tepe noktasına bitişik $X$ . Sorun, bir köşe kümesi bulmaktır $S\subseteq V$ minimum boyutta $S\cap X\neq\emptyset$ her kritik set için $X$ .

Sorun şu söylentiyi yayıyor: Vertex $i$ söylenti komşusuna yayılıyor $j$ ve diğer tüm komşularının $i$ zaten bilgilendirilmiş. O zaman soru, herkesin sonunda bilgilendirildiğinden emin olmak için başlangıçta kaç köşe noktası bildirmem gerektiğidir.

— Thomas Kalinowski
kaynak

Bunun oldukça basit bir çözümü var, bu yüzden problemin belirtilenden daha fazla koşulu var; özel durumu görmezden gelmek

X = V

$X=V$ ve eğer

G

$G$ bağlı, her köşe

v

$v$ derece ile

> 1

$>1$ kritik bir seti var

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$ onunla ilişkili, bu yüzden sadece sadece deg 1 köşeleri olan komşular olabilir

S

$S$ . Böyle bir tepe noktası varsa, o zaman

G

$G$ bir yıldız grafiğidir ve merkezi (singleton olarak) benzersiz minimaldir

S

$S$ . Eğer

G

$G$ bağlı değilse, her bağlı bileşene bakın.

— Joe Bebel

Bir yıldız için

K_{1, n}

$K_{1,n}$ ile

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$ Yapraklar, her iki yaprak kümesi kritiktir ve bu nedenle optimal çözüm yaprak almaktır .

n - 1

$n-1$

— Thomas Kalinowski

Hatalı yorumumu görüyorum

— Joe Bebel

Çok ilginç bir soru, küçük bir kelime oyunu: muhtemelen kritik setlerinizin işsiz olmasını istemelisiniz (aksi takdirde yoktur ).

S

$S$

— Klaus Draeger

@JoeBebel: Karar sorunu " En fazla boyutunda bir çözüm seti var mı ?" NP. Aşağıdaki algoritma ile bir set çözüm olup olmadığını kontrol edebilirsiniz . Bir köşe varken aynen komşu üzerindeki dışında eklemek için . Eğer sonra sonunda tüm köşe içeriyor İlk seti aksi Zorlandığınız bir çözüm olduğunu ve ilk böylece nihai setin tamamlayıcısı, kritik bir dizi çözüm değildi.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski

Sorun yayılma sorunu olarak bilinir . Aazami, doktora tezinde , grafik düzlemsel ve düğüm ağırlıkları olsa bile ağırlıklı sürümün NP-tam olduğunu kanıtlamıştır . Ağırlıksız versiyonun karmaşıklığı açık bir problem gibi görünüyor. $\{0,1\}$

— Thomas Kalinowski
kaynak