Ağdaki İkinci En Küçük

Bir akış ağındaki ikinci en küçük - kesimi hakkında bilinen bir şey var mı ? Veya daha genel olarak, bu sorun hakkında: $s$ $t$

Giriş: Bir ağ ve bir sayı , hepsi ikili. Çıktı: Bir inci en küçük - kesilmiş. $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

Bir inci en küçük - kesme herhangi biri - kesme, öyle ki orada tam - , yetenekleri keser $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

ikili olarak farklı ve
kapasitesinden daha küçüktür . $(S,T)$

Nasıl hesaplanabileceğini ve bunun durumunda olduğu gibi verimli bir şekilde yapılıp yapılamayacağını bilmek istiyorum . $k=1$

— Oliver Witt
kaynak

En küçük kesimde tüm kenarlara ağırlık ekleyerek ve ardından en küçük kesimi hesaplayarak ikinci en küçük kesimi bulabilirsiniz . Bu muhtemelen tekli olarak kodlandığı sürece (ve kesinlikle sabiti için) işe yarar .

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus

Bunun nasıl yardımcı olduğunu görmüyorum. Sadece , , olmak üzere üç düğümden ve oluşan bir yol ağı düşünün . Ayrıca, kapasiteler ve . Açıkça, min-cut kesim ve ikinci en küçük kesim cut . Açıkladığınız gibi kapasitelerin arttırılması, yine kapasite ile minimum kesim olarak . Bundan ikinci en küçük kesimi nasıl çıkaracağım?

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Oliver Witt

Kesme kapağına bir alt sınır eklemek doğrusal bir eşitsizliktir, sadece min kapağından daha büyük bir epsilon ekleyin ve LP'yi çalıştırın. İstediğinizi elde etmek için k kez tekrarlayabilirsiniz. Bu muhtemelen ağda bir değişiklik olarak yeniden düzenlenebilir, ancak ben bunu yapmadım.

— Kaveh

tekli kodlamadaysa nasıl çalıştığını görüyorum . Ne, ikili ise? Bu durumda, ağ değişikliği yinelemelerinde yapılamaz .

k

$k$

k

$k$

— Oliver Witt

Eğer k ikili ise kolay bir çözüm olduğundan şüpheliyim. Tarif ettiğim gibi c kapağının kesilip kesilmediğini kontrol edebiliriz. Bana öyle geliyor ki, esasen olası c sayısını sayıyor, eşleşme sayısını saymakla ilgili olabilir ve muhtemelen # P-complete. (Bu sadece benim sezgim, bir tartışma değil.)

— Kaveh

İkinci en küçük kesim ve daha genel olarak en küçük kesim, zaman polinomunda ve ağ boyutunda bulunabilir. Görmek: $k$ $k$

HW Hamacher. Bir ağdaki en iyi kesimlerini bulmak için bir algoritması . İşl. Res. Lett. 1 (5): 186-189, 1982, doi: 10.1016 / 0167-6377 (82) 90037-2 . $(K\cdot n^4)$ $k$

HW Hamacher, J.-C. Picard ve M. Queyranne. Bir ağda en iyi kesim bulmak . İşl. Res. Lett. 2 (6): 303-305, 1984, doi: 10.1016 / 0167-6377 (84) 90083-X . $K$

HW Hamacher ve M. Queyranne. kombinatoryal optimizasyon problemlerine iyi çözümleri. Ann. İşl. Res. 4 (1-4): 123–143, 1985, doi: 10.1007 / BF02022039 . $K$

— David Eppstein
kaynak

Bunlar üst arasında eşit ağırlıklara izin vermiyor mu? Soru , Kaveh'in önerdiği gibi # P-complete problemi gibi kokan en küçük ağırlığı soruyor gibi görünüyor .

k

$k$

k

$k$

— András Salamon

Ben de bu şekilde anlıyorum: eşit ağırlıklara izin veriliyor. Bu soruya cevap vermiyor gibi görünüyor. Yine de, bu kağıtlardan habersizdim, bunun için teşekkürler.

— Oliver Witt

Soru kötü bir şekilde ifade edilmiştir, çünkü bir şey ister ( En küçük kesim) ve daha sonra soruyu başka bir şeye dönüştüren bir kısıtlama ekler ( En küçük farklı kesim ağırlığı). Sorunun farklı ağırlık versiyonunun $ P-complete olması muhtemel olduğunu kabul ediyorum.

k

$k$

k

$k$

— David Eppstein

Ağdaki İkinci En Küçük - -Cut