Çeşitli karmaşıklık sınıflarındaki sayı teorik veya cebirsel problemlerin listesi

Çeşitli sayı teorik / cebirsel problemlerin bilinen veya bilinmeyen karmaşıklığı hakkında bir liste arıyorum. Örneğin,

• GCD açık,$NC^1$
• faktoring açıktır,$P$
• demet kohomolojisinin hesaplanması -hard$\#P$ ,
• Arora Barak faktoringe bir varyantı olan devlet -Komple (bu tartışma göre açık değildir da faktoringe bir NP-tam varyantı. ),$NP$
• Barbulescu ve arkadaşlarının ayrık logaritmalar üzerine yaptığı atılım çalışmaları .

Adleman bir keresinde ve odaklanmış bir liste yayınladı , ancak modası geçmiş gibi görünüyor. Mumford, karmaşıklığa bakılmaksızın cebirsel geometride neyin hesaplanabileceğine dair bir makaleye sahiptir .N $P$$NP$

Bu listeler yayınlandığından beri (büyük) keşiflerin bir listesini bilen var mı?

Karmaşıklık sınıfları muhtemelen zaten bilinen (yukarıdaki listelerin yayınlanmasından bu yana), bilinmeyen ancak varsayılmış veya bilinmeyen ve tahmin edilmemiş bir dizi teorik / cebirsel lezzetin bazı problemleri nelerdir?

Bazı problem yolları enterpolasyon problemleri (tek değişkenli veya çok değişkenli, çeşitli alanlarda), Çin kalan teoremi, eğriler üzerinde nokta sayımının karmaşıklığı vb.

Cebirsel geometri

• Açık çeşitleri için Noether'in Normalleştirme lemması (NNL) şu anda sadece içinde olduğu bilinen (genel NNL gibi), ancak conjectured olmak (ve içinde o PIT varsayarak kara kutu derandomized olabilir). Güncelleme 4/18/18: Yakın zamanda gösterilmiştir ki çeşitli için içinde bulunduğu rationals üzerinde ( Forbes & Shpilka) ve daha sonra üzerinde keyfi alanlar ( Guo, Saxena, & Sinhababu ).$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\overline{\mathsf{VP}}$$\mathsf{PSPACE}$

• Belirli bir polinom setinin cebirsel bir bağımlılığı olup olmadığını test etme. Bu sorun, son zamanlarda olduğu gösterilmiştir tarafından Guo, Saxena, ve Sinhababu (önceki üst sınırı iyileştirilmesi nedeniyle için Mittmann, Saxena, ve Scheblechner ayrıca, arXiv ).$\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

• Orada birkaç ( arXiv ) yeni (düzgünlüğü gibi çeşitli kısıtlamalara, vb) kompleks çeşitlerinin topolojik değişmezler hesaplamak için algoritmalar. Bunların çoğu için optimal üst sınırın hala açık olduğuna inanıyorum.

• Hilbert'in Nullstellensatz (HN): tamsayı polinomları verildiğinde, ortak bir karmaşık çözüme sahip olup olmadıklarına karar verin, GRH ( Koiran ) varsayarak . içinde olup olmadığı bilinmiyor .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}$

• Cebirsel çeşitlerin tekilliklerinin karakteristik sıfıra çözümlenmesi için algoritmalar. Mevcut en iyi zaman üst sınırı nedeniyle, Bierstone, Grigoriyev, Milman ve Włodarczyk olup , çeşitli boyut ve bir olduğu İlkel özyinelemeli fonksiyonların Grzegorczyk hiyerarşisi . Bu problemde özellikle iyi (herhangi bir?) Alt sınır yoktur, ancak görünüşte çok daha basit problemler için alt sınırlar bilinmektedir, yani: değişkenlerinde en çok üretilen gerektiren idealler vardır.$\mathcal{E}^{d+3}$$d$$\mathcal{E}^{\bullet}$$n$$n$$\mathcal{E}^{n+1}$bu tür jeneratörler. Dolayısıyla, tekilliklerin çözümü için mevcut üst sınır, gerçeklerden uzak olmayabilir, ancak gerçekten çok az şey bilinir.

İzomorfizm problemleri

• Permütasyon gruplarındaki birçok sorun - örneğin, küme kesişimi, permütasyon grubu izomorfizması, vb. - , ancak ve içinde olmadığından şüpheleniliyor . Grafik İzomorfizmi bu sorunların çoğuna indirgenir, bu nedenle üzerlerinde daha iyi bir üst sınır, GI üzerinde daha iyi bir üst sınır anlamına gelir.$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{P}$

• Özel olarak, permütasyon grubu isomorphism için, üst sınırı iyi mevcut olanve GI ve coset kesişimi gibi yarı poli-zaman gibi , sadece permütasyon grubunun derecesine bağlı olarak ve sırasına bağlı olarak zamanda yapılabiliyorsa açıktır .2 O ( n $2^{O(n)}|G|$$2^{O(n)}$

• Grupların çarpım tabloları ile verildiği Grup İzomorfizmi olarak , ancak içinde olduğundan şüphelenilir . Olduğu bilinen için çeşitli sınıflara ait gruplar : (ve güncelleme 4/18/18 çift ( arXiv ) daha ( arXiv , ancak genel olarak)).P $\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Diğer

• Güncelleme 4/18/18: Herhangi alan üstünde tensör rütbe ise -tamamlamak ( Schaefer & Stefankovic ). Tensör , içinde üzerinden mi? O olduğu bilinir -Zor ( Hastad içinde bulunduğu) ve üzerinde sonlu alanlar . ∃ F Q N P N P N $\mathbb{F}$$\exists \mathbb{F}$$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

• Daha genel olarak, fazla tensörlerin ilgili birçok problem olan olduğu bilinen -Sert ancak ( Hillar ve Lim ayrıca, arXiv ).N P N $\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

O (biraz üzüntüyle) olur Adleman-McCurley anket, 21 yaşında olmasına rağmen, şimdi biliyoruz gerçeği dışında, sayı-teorik problemlerin açısından oldukça güncel olduğu gibi görünüyor olduğunu içinde ...$\mathsf{PRIMES}$$\mathsf{P}$

Galois teorisi ve hesaplamalı Galois teorisine vurgu yaparak birkaç tane daha eklemek ( cs.SE ile ilgili soruya bakın ):

tamsayıları üzerinde belirli bir monik indirgenemez polinomun radikaller tarafından çözülüp çözülmediğini belirlemenin hesaplama karmaşıklığı Ref "Radikallerin Çözülebilirliği Polinom Zamanında mı", S. Landau GL Miller 1984$\mathbb{Z}$$\mathbb{P}$

Bir makaleye göre, burada Arvind ve Kurur'un bazı Galois Teorisi problemlerinin karmaşıklığına bağlı olarak , Landau teoremi, belirli bir boyut tanımı altında polinom boyutunda üstel bir üst sınır verir. Daha doğrusu, teoremi Galois grubunun büyüklüğü ve polinom büyüklüğü açısından bir polinom bağı verir. Ancak grubun büyüklüğü polinom büyüklüğünde üssel olabilir. Galois grubunun çözülebilir olup olmadığını gösterirler, o zaman düzen bir oracle ile rastgele bir polinom zaman algoritması ile hesaplanabilir .$NP$

MO'daki bağlantılı sorudan yeniden üretildi