Üçlü

$k$ sabit olsun ve $G$ (bağlı) grafik olsun. Yanılmıyorsam, bu Bodlaender [1, Teorem 3.11] çalışmalarından şu ait treewidth eğer $G$ kabaca en az olduğu $2k^3$ , daha sonra $G$ bir yıldız içeren $K_{1,k}$ Küçük bir çocuk gibi.

terimini $2k^3$ daha küçük yapabilir miyiz ? Yani, treewidth en azından $k$ zaten bir $K_{1,k}$ minor'un varlığını ima ediyor mu? Bir yerde kanıt var mı?

[1] Bodlaender, HL (1993). Doğrusal zaman üzerinde derinlik ilk aramalı küçük testler. Algoritmalar Dergisi, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
kaynak

A gevşek ilgili sonuç Demaine ve Hajiaghayi : sabit bir grafiktir için

H

$H$ , bir

H

$H$ treewidth arasında -küçük içermeyen grafik

w

$w$ bir sahiptir

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$ ızgara grafik minör.

— mhum

@mhum sabit

Ω

$\Omega$ üzerine katlanarak bağlıdır

| H |

$|H|$ Böylece doğrudan bu uygulamadan bir daha kötü verecektir

2 k^{3}

$2k^3$ bağlanmış.

— daniello

@daniello Gerçekten de durum böyle. Sabit çok hoş değil ve

-minor grafiklere uzmanlaşma da harika değil. Sadece belirsiz bir sonuca işaret etmek istedim.

H

$H$

— mhum

Her grafik gerçekten doğrudur hiçbir ile en fazla minör treewidth sahiptir . Bunu aşağıda kanıtlıyoruz, önce birkaç tanım: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

Let arasında treewidth olduğu ve içinde bir klik maksimum boyutu . Bir grafik bir nirengi olan ise bir alt grafiğinin bir ve (yani, en azından ilgili döngüleri neden olan kiriş olan köşe). Bir nirengi ve herhangi bir uygun alt grafiğinin, eğer en az bir nirengi olan , aynı zamanda bir nirengi olan . köşelerinin bir alt kümesi $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

Yukarıdaki formül, kanıtlanması için, tüm potansiyel maksimum kliklerinin en fazla boyutuna sahip olduğunu kanıtlamanın yeterli olduğunu ima eder . Şimdi bunu kanıtlıyoruz. Let bir potansiyel maksimum klik olmak ve varsayalım . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

Bu potansiyel maksimum cliques aşağıdaki karakterizasyonu kullanır: Bir köşe grubu bir potansiyel maksimum klik olan her çifti için, ancak ve ancak, eğer , olmayan komşu (farklı) köşe bir yol yoktur gelen için içinde dışında tüm iç köşeleri ile . Bu karakterizasyon Treewidth ve Minimum Fill-in makalesinde bulunabilir: Minimal Ayırıcıları Bouchitte ve Todinca'ya göre gruplandırmak . $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

Bu karakterizasyon ile bir minör türetmek kolaydır . Let . Her köşe için ya bir kenarı olan ya da bir yol yoktur gelen için tüm iç köşe dışında ile . Tüm için olmayan bitişik tüm iç köşe sözleşme içine . Sonunda tüm bitişik olduğu küçük bir ile sonuçlanırız ve $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ . Yani bu minördeki derecesi en az , ispatı tamamlıyor. $u$ $k$

— Daniello
kaynak

Teşekkürler Daniel! Aynı argümanın (veya sonucun gerçekten) bir yerde yayınlanıp yayınlanmadığını biliyor musunuz?

— Juho

Referansım yok, ancak serbest grafikleri için benzer görünümlü (muhtemelen daha az sıkı) bir argümanın bir yere yazıldığını hatırlıyorum . Ne yazık ki daha somut bir işaretçim yok.

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— daniello