Hangi rasgele algoritmaların üstel olarak küçük hata olasılığı vardır?

Rastgele bir algoritmanın rasgele bit kullandığını varsayın . Beklenebilecek en düşük hata olasılığı (0 hata ile deterministik bir algoritmanın yetersiz kalması) . Hangi rasgele algoritmalar bu kadar düşük hata olasılığını elde eder? $r$ $2^{-\Omega(r)}$

Akla gelen birkaç örnek:

Örnekleme algoritmaları, örneğin, bir kullanıcının üyeliğini kontrol edebileceği bir kümenin boyutunu tahmin etmek istediği yerlerde. Biri kontrol edilecek öğeleri rastgele olarak eşit bir şekilde örneklerse, Chernoff sınırı katlanarak küçük bir hata olasılığını garanti eder.
Minimum yayılma ağacını hesaplamak için Karger-Klein-Tarjan algoritması. Algoritma, her bir kenarı olasılıkla 1/2 alır ve numunedeki MST'yi özyineli olarak bulur. Chernoff'u, ağaçtan daha iyi olan kenarların 2n + 0.1m olması muhtemel olmadığını iddia etmek için kullanabilirsiniz (yani, onları ağaç kenarlarından birinin üzerine almayı tercih eder).

Başka örnekler düşünebilir misiniz?

Andras'ın aşağıdaki cevabını takiben: Aslında, her polinom zaman algoritması, üstel olarak küçük hata olasılığı ile daha yavaş bir polinom zaman algoritmasına dönüştürülebilir . Odağım mümkün olduğunca verimli algoritmalara odaklanıyor. Özellikle verdiğim iki örnek için problemleri çözen deterministik polinom zaman algoritmaları vardır. Rastgele algoritmalara olan ilgi verimliliklerinden kaynaklanmaktadır.

randomized-algorithms

— Dana Moshkovitz
kaynak

Tam bir cevap değil, ama rasgele sayısal doğrusal cebirde bazı çalışmalar var. youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— Baby Dragon

Belki bir olamaz bekliyoruz tüm gerçek sayılar için ( "0 hata ile bir deterministik algoritmanın kısa düşen" hala) bu kadar, ama bir umut kesinlikle can , eğer o zaman hata olasılığı olan bir algoritması vardır . Bence Polinom Kimlik Testi böyle bir sorundur.

c

$c\hspace{-0.02 in}$

c < 1

$\: c<1 \:$

$\hspace{.34 in}$

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$

$\:$

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer Yorumunuzu anlamıyorum. PIT için olağan randomize algoritmada, rastgelelikte üstel olmayan bir hata vardır. Peki sen ne diyorsun? Herhangi bir BPP problemi için böyle bir algoritma olabileceğini mi söylüyorsunuz?

— Sasho Nikolov

Şimdi PIT'in tanımladığım sınıfta olduğunu göstermenin bir yolunu görmediğimin farkındayım.

$\:$ Öte yandan,

de süper polinom olmasına izin vermek (yani, uzunluğun (S) (d) uzunluğunda süper doğrusal olmasını sağlamak) Schwartz-Zippel lemması için yeterli olacaktır

S

$S$

d

$d$

$\:$ (devam etti ...)

$\;\;\;\;$

Pek çok olasılık yöntemi konstrüksiyonu böyle bir davranışa sahiptir, değil mi? Örneğin, rastgele bir ikili dizeler kümesi seçmek ve en yakın çiftlerine bakmak -

daha küçük mesafelerde iki tel olması olasılığı çok küçüktür. -------------------------------------------------- ----------------------- Aşağıdaki BPP cevabının ruhuna göre: n köşesi ve

işaretli köşesi olan sabit derece genişletici verildiğinde , uzunlukta rasgele bir yürüyüş olasılığı

belirgin bir tepe noktası kaçırmak

, eğer

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Sariel Har-Peled

Yanıtlar:

Impagliazzo ve Zuckerman kanıtladı (FOCS'89, buraya bakın ), bir BPP algoritması en az 2/3 doğruluk olasılığı elde etmek için rastgele bit kullanıyorsa , genişletici grafiklere rastgele yürüyüşler uygulayarak, bunun bir doğruluk olasılığına iyileştirilebileceğini kanıtladı. ve kullanılarak rastgele bit. ( Not: yazarlar özette sabit 2/3 sabitini kullanırken, 1/2 değerinden daha büyük herhangi bir sabit ile değiştirilebilir.) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

Biz alırsak , bu araçlar her bir sabit hata olasılığını elde BPP algoritması kullanarak, rasgele bit, (non-trivially) olabilir hata olasılığına sahip olduğu geliştirilmiş . Böylece, (bir şeyi yanlış anlamadım), nin hata olasılığı BPP'deki her problem için elde edilebilir . $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— Andras Farago
kaynak

Bu tür amplifikasyon tekniklerinin sorunu algoritmayı yavaşlatmalarıdır. Yeni algoritma yalnızca O (r) rasgele bitleri kullanabilir, ancak çalışma süresi r çarpıdır (orijinal çalışma zamanı). Eğer r, n giriş boyutunda (genellikle olduğu gibi) en azından doğrusal ise, algoritmayı n faktörü ile yavaşlattınız. Bu, çoğu algoritistin mutlu olacağı bir şey değil ...

— Dana Moshkovitz

Aradığın bu olduğundan emin değilim, ancak bununla ilgili:

$k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

$t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

$t=1$

p_{k, 1} \leq 2^{- (1 - o (1)) \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (k)} .

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

Daha fazla bilgi için Erdös ve Pomerance (1986) , Kim ve Pomerance (1989) ve Dåmgard, Landrock ve Pomerance (1993) 'e bakınız.

$O(k^2)$ $O(k)$

— Thomas Monica'yı destekliyor
kaynak