USTCONN'un logaritmik alan gerektirdiğini nasıl kanıtlayabilirim?

USTCONN, bir grafik G'de kaynak köşeden $s$ hedef köşeye bir yol olup olmadığına karar vermeyi gerektiren bir sorundur ; bunların tümü girişin bir parçası olarak verilmiştir.$t$$G$

Ömer Reingold, USTCONN'un L'de olduğunu gösterdi (doi: 10.1145 / 1391289.1391291 ). Kanıt , zig-zag ürünü vasıtasıyla sabit dereceli bir genişletici oluşturur . Sabit dereceli bir genişletici logaritmik çapa sahiptir ve daha sonra sabit sayıda logaritmik boyut markeri kullanılarak olası tüm yollar kontrol edilebilir.

Reingold'un sonucu, USTCONN'un uzay karmaşıklığı üzerinde logaritmik bir üst sınır verir ve kağıda göre uzay karmaşıklığını "sabit bir faktöre kadar" çözer. Makalede başka hiçbir yerde bahsedilmeyen ilgili alt sınırı merak ediyorum.

En kötü durumda USTCONN'a karar vermek için logaritmik alanın gerekli olduğunu nasıl kanıtlayabiliriz?

Düzenleme: Satırları bir N 2- bit dizesi oluşturmak için arka arkaya listelenen , temel N- vereksetrik simetrik basit yönlendirilmiş grafiğin $N \times N$ bitişiklik matrisi olarak giriş gösterimini sabitleyin .$N$$N^2$

Lewis ve Papadimitriou (doi: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ), USTCONN'un SL-tamamlandığını gösterdi, bu Reingold'un sonucuyla SL = L anlamına geliyor. Savitch, (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$ . Diğer $\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$ Herhangi bir hesaplanabilir fonksiyon için DSPACE ( 1 ) $f(n) = o(\log\log n)$Stearns, Hartmanis ve Lewis tarafından (doi: 10.1109 / FOCS.1965.11 ), bu nedenle USTCONN için en az $\Omega(\log\log n)$ alanı gereklidir. Son olarak, L'nin altında olduğu bilinen ( gibi $\text{NC}^1$) olağan sınıflar , devreler olarak tanımlanır ve açıkça, bağlı bir alan olarak tanımlanan herhangi bir sınıfla karşılaştırılamaz.

Sadece kullandığı daha iyi bir deterministik algoritma olduğunu Bildiğim kadarıyla gördüğünüz gibi, bu yapraklar (kuşkusuz olası) olasılığını açık ancak Ω ( log log n ) bazıları için uzay, ö < 1 , veya USTCONN bile nondeterministic algoritma kullanır o ( ( log n ) 1 / 2 ) alanı.$O((\log n)^\delta)$$\Omega(\log \log n)$$\delta < 1$$o((\log n)^{1/2})$

f ( n ) DSPACE ( o ( log n ) $\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

L'de logaritmik alan gerektiren bir dil olduğu sürece, USTCONN'un L için günlük boşluğunun azaltılmasından kesinlikle "daha zayıf" altında tamamlandığını göstermek, istenen alt sınırı verecektir.

USTCONN, alanı gerektiren bir azaltma altında L için tamamlandı mı ?$o(\log n)$

Immerman, (doi: 10.1137 / 0216051 ), istenen yolun (grafiğin kendisinin değil) deterministik olduğu yönlendirilmiş bir erişilebilirlik versiyonunun, AC devreleri tarafından hesaplanabilen birinci dereceden indirimler altında L için tamamlandığını gösterdi . Bu daha sonra belki USTCONN'un FO indirimleri altında L için tamamlandığını gösterecek şekilde uyarlanabilir. Bununla birlikte, AC kesinlikle L'de yer almasına rağmen , AC yine bir devre sınıfıdır ve alt logaritmik alanda FO azaltmalarını gerçekleştirmenin herhangi bir yolunun farkında değilim.0 $^0$$^0$$^0$

Edit 2015-07-14: Bir TM'nin alan kullanımının girdiye bir dizin boyutu içermesi gerekip gerekmediği ilginç bir felsefi sorundur (böylece girişe rastgele erişime izin verir, ancak girişin boyutu iki katına çıkarsa ekstra bir bit gerekir ) veya bir TM tarafından kullanılan alanın bir hesaplama sırasında ziyaret edilen çalışma bandı karelerinin sayısı olup olmadığı (giriş bandı kafasının sabit olduğunu ve giriş bandının boyutu iki katına çıktığında değişmediğini varsayar). Eski RAM tarzı tanım, herhangi bir kişi için hemen bir günlük alanı alt sınırı verirhesaplama yapar ve bir dosyadaki geçerli konumu izleyen geçerli bilgisayarları dosyanın başlangıcından itibaren uzaklık olarak modeller. İkinci klasik tanım, mevcut giriş sembolü dışında bant hakkında hiçbir şey bilmeyen sabit bir okuma kafasına sahip, kağıt benzeri bir bant olduğunu varsayar; bu muhtemelen Turing'in 1937 belgesinde amaçladığı şeydir.

Thomas'ın yorumu gibi sezgisel argümanlar, girdiyi boşluk bitleri ile endekslemenin bile mümkün olmadığını , modern bir RAM tarzı tanımını varsayıyor gibi görünüyor. Stearns / Hartmanis / Lewis, uzay-sınırlı hesaplamada klasik çalışmaların çoğunda olduğu gibi TM tarzı tanımı kullanır.$o(\log n)$

Mükemmel karelerin tek dilinin tanınması için günlük alanının gerekli olduğunu belirterek bir bitişiklik matrisi olarak temsil edilen USTCONN için bir günlük alanı alt sınırı kanıtlanabilir (bkz. Rūsiņš Freivalds , Hesaplama Modelleri, Riemann Hipotezi ve Klasik Matematik , SOFSEM 1998, LNCS 1521, 89 –106. Doi: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( ön baskı)). Daha sonra aynı alt sınır, bitişiklik matrisi gösterimi ile USTCONN için de geçerlidir. Bu belki de bir hile çoktur: genellikle bir söz probleminde vaat uygulamak, gerçek soruna kıyasla kolay olmak içindir, ancak burada girdinin bir grafik olduğu vaadini uygulamak zaten alt sınırı verir. Bu nedenle, girişin dilinden olduğu garanti edilen söz verme problemi için bir günlük alanı alt sınırı için bir argüman görmek güzel olurdu .$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

Kağıt Sayma Niceleyiciler, halefi İlişkileri ve Logaritmik alan Kousha Etessami ile kanıtlamaktadır sorun esas kontrol edilir (Eğer köşe önce gelir, bir tepe bir outdegree bir grafiktir olarak bir yol olmak üzere söz edilir, ) projeksiyonlar altında -hard. s t G $\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

Sorun problemi azaltmak için görülebilir tarafından, -reductions: bir örneği göz önüne alındığında arasında sadece silme üzerinden kenar ve çıkış diğer kenarları yönsüz kenarları gibi sorusu olan Elde edilen grafik olarak bağlanır. (Not: İndirgeme muhtemelen daha da hassaslaştırılabilir.)u S , T Cı- O , N , N F O ⟨ G , s , t ⟩ O R D t u → v { u , v } U S , T Cı- O , N N s , $\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$$s,t$