Etiketli DAG'ın sözlükbilimsel olarak en az topolojik türü

Bir asiklik yönlendirilmiş grafiktir biz girdi olarak verilir problemi göz önünde , bir etiketleme fonksiyonu gelen V bir grubu için L toplam sipariş <_l biz istenir (örneğin, tam sayı) ve sözlükbilimsel olarak en küçük topolojik G türünü \ lambda cinsinden hesaplamak . Daha kesin olarak, bir topolojik sıralama arasında G numaralandırılmasıdır V olarak \ mathbf {v} = v_1, \ ldots, v_n , bu şekilde tüm ı \ neq j bir yol olduğu zaman, v_i için v_j içinde$G = (V, E)$$\lambda$$V$$L$$<_L$$G$$\lambda$$G$$V$$\mathbf{v} = v_1, \ldots, v_n$$i \neq j$$v_i$$v_j$$G$ , o zaman i <j'ye sahip olmalıyız $i < j$. Etiket bir topolojik tür elemanların dizisidir $S$ olarak elde $\mathbf{l} = \lambda(v_1), \ldots, \lambda(v_n)$ . (Bütün uzunluğu olan bu tip dizilerin üzerinde sözlük sırasını $|V|$ olarak tanımlanmaktadır) $\mathbf{l} <_{\text{LEX}} \mathbf{l'}$ bir iff bir konum $i$ bu şekilde $l_i <_L l_i'$ ve tüm j <i için l_j = l'_j . Her etiket gerçeğine dikkat S birden köşeler atanabilir V (Aksi sorun önemsiz).$l_j = l'_j$$j < i$$S$$V$

Bu problem bir hesaplama varyantında ("sözlükbilimsel olarak en az topolojik sıralama hesapla") veya bir karar varyantında ("bu giriş sözcüğü minimal topolojik sıralama mıdır?") Olarak ifade edilebilir. Sorum şu : Bu sorunun karmaşıklığı nedir? PTIME (veya hesaplama varyantı için FP'de) mi yoksa NP zor mu? Genel sorun NP-zor ise, olası etiket kümesinin $S$ önceden sabitlendiği sürümle de ilgileniyorum (yani, sadece sabit sayıda olası etiket var).

Uyarılar:

İşte sorunu motive etmek için küçük bir gerçek dünya örneği. DAG'ı bir projenin görevlerini (aralarında bağımlılık ilişkisi olan) temsil ediyor olarak görebiliriz ve etiketler, her görevin aldığı gün sayısını temsil eden tamsayılardır. Projeyi bitirmek için, görevler için seçtiğim sipariş ne olursa olsun bana aynı toplam süreyi alacak. Ancak, patronumu etkilemek istiyorum ve bunu yapmak için olabildiğince çok görevi olabildiğince hızlı bir şekilde bitirmek istiyorum (açgözlü bir şekilde, sonunda daha yavaş işler olduğu için çok yavaş olsa bile). Sözlük sırasında en az düzeni seçimi aşağıdaki kriterini optimize: Bir siparişi seçmek istiyorum $o$ tür başka hiçbir düzen olduğunu $o'$ ve gün sayısı $n$ nereye sonra $n$günler sipariş ile daha görevleri bitmiş olurdu $o'$ emri ile daha $o$ (yani patronum görünüyor anda eğer $n$ , ben daha iyi bir izlenim vermek $o'$ ), fakat hepsi için $m < n$ ı emir ile az görevleri bitirdikten $o'$ sırası ile daha $o$ .

Sorun hakkında bir fikir vermek için: Önceki cevaplardan aşağıdaki ilgili sorunun zor olduğunu zaten biliyorum : "Aşağıdaki sırayı sağlayan bir topolojik sıralama var mı?" Bununla birlikte, bu sözlükbilimsel düzen için minimum olan bir dizi istediğim gerçeği, bunu başarabilecek olası topolojik düzenleri çok kısıtlıyor gibi görünüyor (özellikle diğer cevaplardaki azalmalar artık işe yaramıyor gibi görünüyor). Sezgisel olarak, yapma seçeneğimiz olan çok daha az durum var.

Set kapağı açısından problemlerin ilginç bir şekilde yeniden ifade edildiğine dikkat edin (problemi iki taraflı olan, yani iki yüksekliğe sahip ): bir takım seti verildiğinde, bunları düzeninde sıralamayı en aza indiren,,, ,. Sorun, yönlendirilmemiş grafiklerde de yeniden ifade edilebilir (grafiğin bağlı alanını, açılmamış etiketlerin sözlükbilimsel sırasını en aza indiren sırayla aşamalı olarak genişletebilir). Bununla birlikte, aslında sekansı olduğunu var$S_1, \ldots, S_n$$|S_1|$$|S_2 \backslash S_1|$$|S_3 \backslash (S_1 \cup S_2)|$$\ldots$$|S_n \backslash (S_1 \cup \cdots \cup S_{n-1})|$ sözlükbilimsel düzenin tanımı ile her zaman açgözlü olmak için, (örneğin, Steiner ağacının) indirimleri elde edemiyorum.

Fikirleriniz için şimdiden teşekkür ederiz!

Aynı etiketin birden fazla kopyasına izin verildiğinde, sorun grafiklerdeki klipten bir azalma ile NP-zordur. Bir grafik verilen bir bulmak istediğiniz , -clique her tepe için bir kaynak tepe ile bir DAG yapmak , her bir kenar için bir lavabo tepe ve yönlendirilmiş bir kenar zaman bir tepe olan olduğu kenarının uç noktasını oluşturur . köşelerine etiket değeri ve kenarlarına etiket değeri .$G$$k$$G$$G$$xy$$x$$G$$y$$G$$1$$G$$0$

Daha sonra, bir olduğu olarak -clique ve sözlük sırasında ilk topolojik düzeni bir dizisini oluşturur ancak eğer 'in ve ile sitesindeki , aşağıdaki sitesindeki th . Örneğin, altı köşeli bir klik dizisi ile temsil edilir . Bu muhtemelen bu yapı (herhangi değiştirerek verilen etiketli DAG bir topolojik sipariş başlayabilir sözlük sırasında en küçük dizisidir 'tarafından s$k$$G$$k$ $1$$\tbinom{k}{2}$ $0$$i-1$ $0$$i$$1$$110100100010000100000$$1$$0$çok köşeli basit bir grafikte bulunabileceğinden daha fazla kenarı olan bir sekans verir) ve sadece istenen klibi içerdiğinde topolojik bir sıralamanın başlangıcı olabilir .$G$

Göre , bu referans (1), sözlük sırasında ilk topolojik sipariş sorun nlog-tamamlanır.

İlgilendiğiniz vakaları içerdiğinden emin olmak için makaleye daha ayrıntılı bir göz atmak isteyebilirsiniz. Özellikle, bu makalenin teknik rapor sürümüne (pdf) dayanarak, olarak köşe lexicographic sipariş tedavi yeniden sıkı (örn: sizin gösterimde, için ), ama emin bu sonucun uygulanabilirliğini etkilerse değilim .$\lambda(u) \neq \lambda(v)$$u \neq v$

1. Shoudai, Takayoshi. " Sözcükbilimsel olarak ilk topolojik düzen problemi NLOG-tamamlandı. " Bilgi işleme mektupları 33.3 (1989): 121-124.